Номер 19.19, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.19, страница 103.

Условие.

19.19 Выясните, является ли ограниченной снизу функция, график которой изображён на заданном рисунке, и если да, то найдите наименьшее значение функции:

а) рис. 13;

б) рис. 14;

в) рис. 15;

г) рис. 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит не ниже некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Наименьшее значение функции — это самое маленькое значение, которое функция принимает. На графике это ордината (координата $y$) самой низкой точки. Функция может быть ограничена снизу, но не иметь наименьшего значения, если она лишь стремится к своей точной нижней границе, но никогда ее не достигает.

а) рис. 13

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Самая низкая точка этого графика — вершина параболы с координатами $(2, -2)$. Все значения функции не меньше ординаты вершины, то есть $f(x) \ge -2$. Следовательно, функция ограничена снизу. Поскольку функция достигает этого значения в точке $x=2$, у нее есть наименьшее значение.
Ответ: Да, функция ограничена снизу. Наименьшее значение функции равно $-2$.

б) рис. 14

На рисунке изображен график прямой, который неограниченно уходит вниз. Это означает, что для любого числа $m$ можно найти такое значение $x$, что $f(x) < m$. Таким образом, не существует числа, которое ограничивало бы значения функции снизу.
Ответ: Нет, функция не является ограниченной снизу.

в) рис. 15

На рисунке изображен график функции, который приближается к горизонтальной прямой $y=1$ при $x \to +\infty$. Все точки графика лежат выше этой прямой, то есть $f(x) > 1$ для всех $x$ из области определения. Это значит, что функция ограничена снизу (например, числом 1). Однако, поскольку график лишь бесконечно приближается к прямой $y=1$, но не достигает ее, у функции нет наименьшего значения.
Ответ: Да, функция ограничена снизу, но наименьшего значения не имеет.

г) рис. 16

Из графика видно, что все его точки имеют ординату не меньше $-1$, то есть $f(x) \ge -1$. Это означает, что функция ограничена снизу. Также видно, что функция принимает значение $-1$ (например, для всех $x$ на лучах $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$). Следовательно, у функции есть наименьшее значение.
Ответ: Да, функция ограничена снизу. Наименьшее значение функции равно $-1$.