Номер 19.12, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.12, страница 102.

Условие.

19.12 Постройте график функции $y = 2x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции при $x = 0; 1; -2;

б) значения аргумента, если $y = 0; 2; 8;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1];

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [2; 8].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи построим график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

$x$	-2	-1.5	-1	0	1	1.5	2
$y = 2x^2$	8	4.5	2	0	2	4.5	8

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученный график используем для ответа на вопросы.

а) значения функции при $x = 0; 1; -2$

Чтобы найти значение функции по графику, нужно найти заданное значение аргумента $x$ на оси абсцисс, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем провести перпендикуляр от этой точки к оси ординат и определить значение $y$.

• При $x = 0$, точка на графике — это вершина параболы $(0, 0)$. Следовательно, $y = 0$.
• При $x = 1$, находим на графике точку с абсциссой 1. Ее ордината равна 2. Следовательно, $y = 2$.
• При $x = -2$, находим на графике точку с абсциссой -2. Ее ордината равна 8. Следовательно, $y = 8$.

Ответ: при $x=0$, $y=0$; при $x=1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=8$.

б) значения аргумента, если $y = 0; 2; 8$

Чтобы найти значения аргумента по графику, нужно найти заданное значение функции $y$ на оси ординат, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком, а затем опустить перпендикуляры из точек пересечения на ось абсцисс и определить значения $x$.

• При $y = 0$, горизонтальная прямая $y=0$ совпадает с осью абсцисс и пересекает параболу в одной точке $(0, 0)$. Следовательно, $x = 0$.
• При $y = 2$, прямая $y=2$ пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -1$ и $x = 1$.
• При $y = 8$, прямая $y=8$ пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=2$, то $x = \pm 1$; если $y=8$, то $x = \pm 2$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от -2 до 1. Это дуга параболы, начинающаяся в точке $(-2, 8)$ и заканчивающаяся в точке $(1, 2)$, проходящая через вершину $(0, 0)$.

• Наименьшее значение функции на этом отрезке соответствует самой низкой точке на выделенной дуге. Это вершина параболы $(0, 0)$, так как $0 \in [-2; 1]$. Значит, $y_{наим} = 0$.
• Наибольшее значение функции на этом отрезке соответствует самой высокой точке на выделенной дуге. Сравним значения функции на концах отрезка: $y(-2) = 8$ и $y(1) = 2$. Наибольшее из них равно 8. Значит, $y_{наиб} = 8$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 0, а наибольшее равно 8.

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [2; 8]$

Нам нужно найти все такие значения $x$, для которых значения $y$ находятся между 2 и 8 включительно. На графике это соответствует частям параболы, расположенным между горизонтальными прямыми $y=2$ и $y=8$.

• Прямая $y=2$ пересекает график в точках $x=-1$ и $x=1$.
• Прямая $y=8$ пересекает график в точках $x=-2$ и $x=2$.

Условию $y \in [2; 8]$ удовлетворяют две части графика: одна в левой полуплоскости, другая — в правой.

• Для левой части абсциссы $x$ изменяются от -2 до -1. Таким образом, $x \in [-2; -1]$.
• Для правой части абсциссы $x$ изменяются от 1 до 2. Таким образом, $x \in [1; 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем искомое множество значений $x$.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.