Номер 19.5, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.5, страница 101.

Условие.

19.5 a) $y = -1.5x^2$;

б) $y = \frac{1}{4}x^2$;

в) $y = 2.5x^2$;

г) $y = -\frac{1}{2}x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = -1,5x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = -1,5$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = -1,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |-1,5| = 1,5 > 1$, то парабола "уже", чем парабола $y=-x^2$. Это означает, что её график получен из графика $y=-x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 1,5 раза.
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Графиком функции $y = -1,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола растянута от оси абсцисс в 1,5 раза по сравнению с графиком $y=-x^2$.

б) $y = \frac{1}{4}x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = \frac{1}{4}$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |\frac{1}{4}| = 0,25 < 1$, то парабола "шире", чем парабола $y=x^2$. Это означает, что её график получен из графика $y=x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 4 раза (или растяжением вдоль оси $Ox$ в 2 раза).
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{1}{4}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола сжата к оси абсцисс в 4 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

в) $y = 2,5x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = 2,5$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = 2,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |2,5| = 2,5 > 1$, то парабола "уже", чем парабола $y=x^2$. Её график получен из графика $y=x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2,5 раза.
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции $y = 2,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола растянута от оси абсцисс в 2,5 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

г) $y = -\frac{1}{2}x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |-\frac{1}{2}| = 0,5 < 1$, то парабола "шире", чем парабола $y=-x^2$. Её график получен из графика $y=-x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза (или растяжением вдоль оси $Ox$ в $\sqrt{2}$ раз).
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{1}{2}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола сжата к оси абсцисс в 2 раза по сравнению с графиком $y=-x^2$.