Номер 19.6, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.6, страница 102.

Условие.

Постройте в одной системе координат графики заданных функций и сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков:

19.6 а) $y = x^2$ и $y = -x^2$;

б) $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$;

в) $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$;

г) $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = x^2$ и $y = -x^2$

Для построения графиков заданных функций, которые являются параболами вида $y=ax^2$, сначала определим ключевые характеристики и найдем координаты нескольких точек.

1. Построение графика функции $y = x^2$:
Это стандартная парабола. Коэффициент $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке (0, 0).
Составим таблицу значений:

• при $x = 0, y = 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 1^2 = 1$ → (1; 1)
• при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$ → (-1; 1)
• при $x = 2, y = 2^2 = 4$ → (2; 4)
• при $x = -2, y = (-2)^2 = 4$ → (-2; 4)

2. Построение графика функции $y = -x^2$:
Коэффициент $a=-1$, так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина также находится в точке (0, 0).
Составим таблицу значений:

• при $x = 0, y = -0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -1^2 = -1$ → (1; -1)
• при $x = -1, y = -(-1)^2 = -1$ → (-1; -1)
• при $x = 2, y = -2^2 = -4$ → (2; -4)
• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$ → (-2; -4)

3. Вывод о взаимном расположении:
Построив эти точки в одной системе координат и соединив их плавными линиями, мы получаем две параболы. Оба графика проходят через начало координат. График функции $y = -x^2$ является зеркальным отражением графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Графики функций $y = x^2$ и $y = -x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -x^2$ — вниз.

б) $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$

1. Построение графика функции $y = 0,5x^2$:
Это парабола с вершиной в точке (0, 0). Коэффициент $a=0,5$, так как $a>0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|0,5|<1$, эта парабола будет шире, чем парабола $y = x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 0,5 \cdot 1^2 = 0,5$ → (1; 0,5)
• при $x = -1, y = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$ → (-1; 0,5)
• при $x = 2, y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$ → (2; 2)
• при $x = -2, y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 2$ → (-2; 2)

2. Построение графика функции $y = -0,5x^2$:
Это парабола с вершиной в точке (0, 0). Коэффициент $a=-0,5$, так как $a<0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также шире, чем $y = -x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -0,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -0,5 \cdot 1^2 = -0,5$ → (1; -0,5)
• при $x = -1, y = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$ → (-1; -0,5)
• при $x = 2, y = -0,5 \cdot 2^2 = -2$ → (2; -2)
• при $x = -2, y = -0,5 \cdot (-2)^2 = -2$ → (-2; -2)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат. Они симметричны относительно оси Ox. Парабола $y = 0,5x^2$ открывается вверх, а $y = -0,5x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = 0,5x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -0,5x^2$ — вниз.

в) $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$

1. Построение графика функции $y = 3,5x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=3,5 > 0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|3,5|>1$, эта парабола будет уже, чем парабола $y=x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = 3,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 3,5 \cdot 1^2 = 3,5$ → (1; 3,5)
• при $x = -1, y = 3,5 \cdot (-1)^2 = 3,5$ → (-1; 3,5)

2. Построение графика функции $y = -3,5x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=-3,5 < 0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также будет узкой.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -3,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -3,5 \cdot 1^2 = -3,5$ → (1; -3,5)
• при $x = -1, y = -3,5 \cdot (-1)^2 = -3,5$ → (-1; -3,5)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат, которые симметричны относительно оси Ox. Парабола $y = 3,5x^2$ открывается вверх, а $y = -3,5x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = 3,5x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -3,5x^2$ — вниз.

г) $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$

1. Построение графика функции $y = \frac{1}{5}x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=\frac{1}{5}=0,2 > 0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|\frac{1}{5}|<1$, эта парабола будет очень широкой.
Найдем точки, выбрав удобные значения $x$ (кратные 5):

• при $x = 0, y = \frac{1}{5} \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 2, y = \frac{1}{5} \cdot 2^2 = \frac{4}{5} = 0,8$ → (2; 0,8)
• при $x = -2, y = \frac{1}{5} \cdot (-2)^2 = 0,8$ → (-2; 0,8)
• при $x = 5, y = \frac{1}{5} \cdot 5^2 = 5$ → (5; 5)
• при $x = -5, y = \frac{1}{5} \cdot (-5)^2 = 5$ → (-5; 5)

2. Построение графика функции $y = -\frac{1}{5}x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=-\frac{1}{5} < 0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также будет очень широкой.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -\frac{1}{5} \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 2, y = -\frac{1}{5} \cdot 2^2 = -0,8$ → (2; -0,8)
• при $x = -2, y = -\frac{1}{5} \cdot (-2)^2 = -0,8$ → (-2; -0,8)
• при $x = 5, y = -\frac{1}{5} \cdot 5^2 = -5$ → (5; -5)
• при $x = -5, y = -\frac{1}{5} \cdot (-5)^2 = -5$ → (-5; -5)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат, симметричными относительно оси Ox. Парабола $y = \frac{1}{5}x^2$ открывается вверх, а $y = -\frac{1}{5}x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = \frac{1}{5}x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -\frac{1}{5}x^2$ — вниз.