Номер 19.8, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.8, страница 102.

Условие.

19.8 Не выполняя построения графиков функций, ответьте на вопрос, как расположены в одной системе координат и по отношению друг к другу графики функций:

а) $y = 105x^2$ и $y = -105x^2$;

б) $y = -3,165x^2$ и $y = 3,165x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Рассмотрим две функции: $y = 105x^2$ и $y = -105x^2$.

Обе функции относятся к виду $y = ax^2$, графиком которых является парабола. Основные свойства таких парабол:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Осью симметрии параболы является ось ординат (ось OY).
• Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$.

Для функции $y = 105x^2$ коэффициент $a = 105$. Поскольку $a > 0$, ветви этой параболы направлены вверх.

Для функции $y = -105x^2$ коэффициент $a = -105$. Поскольку $a < 0$, ветви этой параболы направлены вниз.

Сравним значения функций для одного и того же значения $x$. Если $y_1 = 105x^2$, а $y_2 = -105x^2$, то очевидно, что $y_2 = -y_1$. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике первой функции, точка $(x_0, -y_0)$ будет лежать на графике второй функции. Такое преобразование является симметрией относительно оси абсцисс (оси OX).

Таким образом, графики данных функций — это две параболы, которые имеют общую вершину в начале координат и симметричны друг другу относительно оси OX. Ветви одной направлены вверх, а другой — вниз.

Ответ: Графики функций являются параболами, симметричными относительно оси абсцисс. Обе параболы имеют вершину в начале координат. Ветви параболы $y = 105x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -105x^2$ направлены вниз.

б)

Рассмотрим функции $y = -3,165x^2$ и $y = 3,165x^2$.

Как и в предыдущем случае, мы имеем дело с функциями вида $y = ax^2$. Их графики — параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и осью симметрии OY.

Для функции $y = 3,165x^2$ коэффициент $a = 3,165$. Так как $a > 0$, ветви этой параболы направлены вверх.

Для функции $y = -3,165x^2$ коэффициент $a = -3,165$. Так как $a < 0$, ветви этой параболы направлены вниз.

Коэффициенты при $x^2$ у этих двух функций равны по модулю и противоположны по знаку ($|3,165| = |-3,165|$). Это значит, что, как и в пункте а), графики этих двух функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси OX). Они имеют одну и ту же форму, но одна "смотрит" вверх, а другая — вниз.

Ответ: Графики функций являются параболами, симметричными относительно оси абсцисс. Обе параболы имеют вершину в начале координат. Ветви параболы $y = 3,165x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -3,165x^2$ направлены вниз.