Номер 19.4, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.4, страница 101.

Условие.

Постройте график функции и укажите, где она убывает, где возрастает:

19.4 а) $y = 3x^2$;

б) $y = -4x^2$;

в) $y = -2x^2$;

г) $y = 5x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = 3x^2$

Графиком данной функции является парабола, которая относится к классу функций $y = ax^2$. В данном случае коэффициент $a = 3$.

1. Построение графика.

Так как коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы вида $y=ax^2$ всегда находится в точке начала координат (0, 0).

Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), то есть прямая $x=0$.

Для более точного построения графика найдём координаты нескольких точек, принадлежащих параболе. Составим таблицу значений:

При $x = 0, y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка (1, 3).
При $x = -1, y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Точка (-1, 3).
При $x = 2, y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка (2, 12).
При $x = -2, y = 3 \cdot (-2)^2 = 12$. Точка (-2, 12).

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции. Это будет парабола, сжатая к оси $Oy$ в 3 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Вершина параболы в точке $x=0$ разделяет график на две симметричные ветви.

Поскольку ветви параболы направлены вверх:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает (с увеличением $x$ от $-\infty$ до 0, значение $y$ уменьшается от $+\infty$ до 0).
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает (с увеличением $x$ от 0 до $+\infty$, значение $y$ увеличивается от 0 до $+\infty$).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

б) $y = -4x^2$

Графиком данной функции является парабола вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -4$.

1. Построение графика.

Так как коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке (0, 0). Ось симметрии — прямая $x=0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

При $x = 0, y = -4 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = -4 \cdot 1^2 = -4$. Точка (1, -4).
При $x = -1, y = -4 \cdot (-1)^2 = -4$. Точка (-1, -4).
При $x = 2, y = -4 \cdot 2^2 = -16$. Точка (2, -16).
При $x = -2, y = -4 \cdot (-2)^2 = -16$. Точка (-2, -16).

Соединив точки плавной кривой, получим параболу, ветви которой направлены вниз и которая "вытянута" вдоль оси $Oy$ в 4 раза по сравнению с $y=-x^2$.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Поскольку ветви параболы направлены вниз:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает (с увеличением $x$, значение $y$ увеличивается от $-\infty$ до 0).
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает (с увеличением $x$, значение $y$ уменьшается от 0 до $-\infty$).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) $y = -2x^2$

Графиком функции является парабола вида $y = ax^2$, где $a = -2$.

1. Построение графика.

Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы — точка (0, 0). Ось симметрии — $x=0$.

Найдем несколько точек для построения:

При $x = 0, y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка (1, -2).
При $x = -1, y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка (-1, -2).
При $x = 2, y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка (2, -8).
При $x = -2, y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка (-2, -8).

График — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вниз.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Так как ветви параболы направлены вниз:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает.
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

г) $y = 5x^2$

Это функция вида $y = ax^2$, где $a = 5$.

1. Построение графика.

Коэффициент $a = 5 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы — точка (0, 0). Ось симметрии — прямая $x=0$.

Найдем координаты нескольких точек:

При $x = 0, y = 5 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = 5 \cdot 1^2 = 5$. Точка (1, 5).
При $x = -1, y = 5 \cdot (-1)^2 = 5$. Точка (-1, 5).
При $x = 2, y = 5 \cdot 2^2 = 20$. Точка (2, 20).
При $x = -2, y = 5 \cdot (-2)^2 = 20$. Точка (-2, 20).

График — парабола, сильно "сжатая" к оси ординат.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Так как ветви параболы направлены вверх:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.