Номер 7, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 7, страница 100.

Условие.

7 Решите графически уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2-x$ графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 2-x$. Абсцисса (координата $x$) точки их пересечения будет являться решением данного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Это стандартная функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы, симметричная оси $Ox$. Область определения функции — $x \ge 0$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

$x$	0	1	4	9
$y = \sqrt{x}$	0	1	2	3

2. Построение графика функции $y = 2-x$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 2-0 = 2$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 2)$.
• При $y=0$, $0 = 2-x$, откуда $x=2$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(2, 0)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной декартовой системе координат. График $y = \sqrt{x}$ выходит из начала координат $(0,0)$ и плавно поднимается вверх. График $y = 2-x$ — это прямая, проходящая через точки $(0,2)$ и $(2,0)$.

Наблюдая за графиками, мы видим, что они пересекаются в одной точке. По таблицам значений, которые мы составили, можно заметить, что точка $(1, 1)$ принадлежит обоим графикам:

• Проверка для $y = \sqrt{x}$: при $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
• Проверка для $y = 2-x$: при $x=1$, $y = 2-1 = 1$.

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(1, 1)$.

Решением уравнения является абсцисса этой точки.

Для подтверждения единственности решения можно провести аналитическую проверку. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая область допустимых значений ($x \ge 0$ и $2-x \ge 0 \implies x \le 2$, т.е. $x \in [0, 2]$):

$(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$

$x = 4 - 4x + x^2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является посторонним. Корень $x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=1$.