Номер 1, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 1, страница 99.

Условие.

1 а) Запишите $ \frac{7}{30} $ в виде десятичной периодической дроби.

б) Запишите $ 0,2(31) $ в виде обыкновенной дроби.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{7}{30}$ в виде десятичной периодической дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель, то есть 7 на 30. Выполним деление столбиком.

1. Так как 7 меньше 30, целая часть частного равна 0. Ставим запятую: $0,...$

2. Делим 70 на 30. Ближайшее произведение, не превосходящее 70, это $30 \times 2 = 60$. Записываем 2 после запятой. Остаток равен $70 - 60 = 10$. Результат: $0.2...$

3. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 30. Ближайшее произведение, не превосходящее 100, это $30 \times 3 = 90$. Записываем 3 в частное. Остаток равен $100 - 90 = 10$. Результат: $0.23...$

4. Снова к остатку 10 приписываем 0 и делим 100 на 30. Мы видим, что остаток 10 будет повторяться, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра 3.

Таким образом, деление даёт бесконечную периодическую дробь $0.2333...$, которую записывают, заключая повторяющуюся цифру (период) в скобки.

Ответ: $0.2(3)$

б) Чтобы записать смешанную периодическую дробь $0.2(31)$ в виде обыкновенной дроби, можно использовать следующий алгебраический метод.

1. Обозначим число через $x$:

$x = 0.2(31) = 0.2313131...$

2. Умножим обе части уравнения на $10$, чтобы "отделить" непериодическую часть:

$10x = 2.313131...$

3. Умножим исходное уравнение на $1000$ (на $10$ в степени, равной общему числу цифр после запятой в непериодической части и в периоде, то есть $1+2=3$), чтобы сдвинуть запятую за первый период:

$1000x = 231.313131...$

4. Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое. Это позволит избавиться от бесконечной периодической части:

$1000x - 10x = 231.313131... - 2.313131...$

$990x = 229$

5. Найдём $x$, решив полученное уравнение:

$x = \frac{229}{990}$

Чтобы убедиться, что дробь несократима, проверим числитель и знаменатель. Число 229 является простым. Разложим знаменатель на простые множители: $990 = 10 \times 99 = (2 \times 5) \times (9 \times 11) = 2 \times 3^2 \times 5 \times 11$. Поскольку 229 не делится ни на один из этих множителей, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{229}{990}$