Номер 8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 8, страница 99.

Условие.

8 Упростите выражение

$\left(\frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-d} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-c}\right) : \frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): из-за наличия корней и знаменателей, переменные должны удовлетворять условиям $ c > 0 $, $ d > 0 $ и $ c \neq d $.

Упрощение выражения в скобках:

Рассмотрим первую часть выражения: $ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-d} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-c} $.

Преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$ \sqrt{cd}-d = \sqrt{c}\sqrt{d} - (\sqrt{d})^2 = \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $

$ \sqrt{cd}-c = \sqrt{c}\sqrt{d} - (\sqrt{c})^2 = \sqrt{c}(\sqrt{d}-\sqrt{c}) = -\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{-\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак вычитания на сложение:

$ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} + \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ \sqrt{c} $, а второй — на $ \sqrt{d} $:

$ \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-7\sqrt{d}) + \sqrt{d}(7\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ c - 7\sqrt{cd} + 7\sqrt{cd} + d = c + d $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{c+d}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Выполнение умножения:

Теперь умножим результат на вторую часть исходного выражения:

$ \left(\frac{c+d}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}\right) \cdot \frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c+d} $

Сократим одинаковые множители $ (c+d) $ и $ (\sqrt{c}-\sqrt{d}) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{c+d}}{\sqrt{cd}(\cancel{\sqrt{c}-\sqrt{d}})} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{c}-\sqrt{d}}}{\cancel{c+d}} = \frac{1}{\sqrt{cd}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{cd}} $.