Номер 5, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 5, страница 99.

Условие.

5 Сократите дробь:

a) $\frac{p\sqrt{p} + q\sqrt{q} - p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}{p\sqrt{p} - q\sqrt{q} + p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}$

б) $\frac{4x - 12\sqrt{xy} + 9y}{\sqrt{4x^3} - \sqrt{9x^2y}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы сократить данную дробь, преобразуем ее числитель и знаменатель. Для удобства введем замены: пусть $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$. Тогда $p = a^2$ и $q = b^2$. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$ \frac{p\sqrt{p} + q\sqrt{q} - p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}{p\sqrt{p} - q\sqrt{q} + p\sqrt{q} - q\sqrt{p}} = \frac{a^3 + b^3 - a^2b - ab^2}{a^3 - b^3 + a^2b - ab^2} $$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби, используя метод группировки.

Числитель:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) = a^2(a-b) - b^2(a-b) = (a^2-b^2)(a-b) = (a-b)(a+b)(a-b) = (a-b)^2(a+b)$.

Знаменатель:

$a^3 - b^3 + a^2b - ab^2 = (a^3 + a^2b) - (b^3 + ab^2) = a^2(a+b) - b^2(b+a) = (a^2-b^2)(a+b) = (a-b)(a+b)(a+b) = (a-b)(a+b)^2$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{(a-b)^2(a+b)}{(a-b)(a+b)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)(a+b)$, при условии что $a \neq b$ и $a \neq -b$ (что соответствует $p \neq q$, так как $a, b \ge 0$).

$$ \frac{a-b}{a+b} $$

Теперь выполним обратную замену $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$:

$$ \frac{\sqrt{p} - \sqrt{q}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} $$

Ответ: $ \frac{\sqrt{p} - \sqrt{q}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} $.

б)

Рассмотрим числитель дроби: $4x - 12\sqrt{xy} + 9y$. Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Действительно, если $a = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ и $b = \sqrt{9y} = 3\sqrt{y}$, то $a^2 = 4x$, $b^2 = 9y$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} = 12\sqrt{xy}$.

Таким образом, числитель можно записать как:

$$ 4x - 12\sqrt{xy} + 9y = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2 $$

Теперь преобразуем знаменатель: $\sqrt{4x^3} - \sqrt{9x^2y}$. Упростим корни и вынесем общий множитель за скобки. Принимая во внимание, что из ОДЗ следует $x \ge 0$ и $y \ge 0$, имеем:

$$ \sqrt{4x^3} = \sqrt{4x^2 \cdot x} = 2x\sqrt{x} $$

$$ \sqrt{9x^2y} = \sqrt{9x^2 \cdot y} = 3x\sqrt{y} $$

Тогда знаменатель равен:

$$ 2x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} = x(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}) $$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2}{x(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$, при условии, что он не равен нулю (иначе знаменатель обращается в нуль).

$$ \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{x} $$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{x} $.