Номер 18.7, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.7, страница 98.

Условие.

18.7 В квадрате ACEG надо пройти по отмеченным линиям (рис. 8) из вершины A в вершину E, двигаясь только вверх или вправо.

а) Выпишите все пути, проходящие через вершину G.

б) Сколько путей проходит через точку H?

в) Сколько путей проходит через точку B?

г) Сколько всего имеется таких путей?

Рис. 8

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти все пути из вершины A в вершину E, проходящие через вершину G, необходимо рассмотреть маршрут как состоящий из двух частей: от A до G и от G до E.
1. Путь из A в G: Чтобы попасть из A в G, двигаясь только вправо и вверх, нужно сделать 2 шага вправо и 0 шагов вверх. Существует только один такой способ: A → H → G.
2. Путь из G в E: Чтобы попасть из G в E, нужно сделать 0 шагов вправо и 2 шага вверх. Существует только один такой способ: G → F → E.
Таким образом, существует только один путь из A в E, проходящий через G. Этот путь является последовательным соединением двух вышеуказанных участков.
Ответ: A → H → G → F → E.

б) Любой путь из A в E, проходящий через точку H, состоит из двух частей: пути из A в H и пути из H в E. Чтобы найти общее количество таких путей, нужно перемножить количество способов пройти каждую часть.
1. Путь из A в H: Существует только один способ добраться из A в H — сделать один шаг вправо.
2. Путь из H в E: Чтобы добраться из H в E, необходимо сделать 1 шаг вправо и 2 шага вверх. Общее количество шагов равно 3. Количество различных маршрутов — это число перестановок с повторениями, которое можно найти по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае нужно выбрать 2 позиции для шагов вверх из 3 возможных (или 1 позицию для шага вправо).
Количество путей из H в E: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$.
Следовательно, общее количество путей из A в E через H равно произведению количеств путей на каждом отрезке: $1 \times 3 = 3$.
Ответ: 3.

в) Аналогично пункту б), найдем количество путей, проходящих через точку B. Путь состоит из двух частей: из A в B и из B в E.
1. Путь из A в B: Существует только один способ добраться из A в B — сделать один шаг вверх.
2. Путь из B в E: Чтобы добраться из B в E, необходимо сделать 2 шага вправо и 1 шаг вверх. Общее количество шагов равно 3. Количество различных маршрутов равно числу способов выбрать 1 позицию для шага вверх из 3 возможных.
Количество путей из B в E: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3$.
Следовательно, общее количество путей из A в E через B равно: $1 \times 3 = 3$.
Ответ: 3.

г) Чтобы найти общее количество путей из A в E, нужно определить, сколькими способами можно совершить 2 шага вправо и 2 шага вверх. Общее количество шагов на любом пути равно $2 + 2 = 4$.
Задача сводится к нахождению числа способов расположить 2 шага вправо (или 2 шага вверх) в последовательности из 4 шагов. Это классическая задача на сочетания.
Общее количество путей равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6$.
Ответ: 6.