Номер 18.1, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.1, страница 97.

Условие.

18.1 В записи * $\notin$ $\blacksquare$ вместо * можно поставить одно из чисел: $-3$, $0,(317)$, $\frac{17}{3}$, $\sqrt{3}$, а вместо $\blacksquare$ — один из символов числовых множеств: $N$, $Z$,

Q. Будут получаться различные утверждения (верные или неверные), например: $-3 \in N$, $\sqrt{3} \notin Q$ и т. п.

а) Сколько получится утверждений, у которых на последнем месте стоит $Z$?

б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений.

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Сколько среди них верных утверждений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

В данной задаче мы составляем утверждения вида «число $\in$ множество» или «число $\notin$ множество».

На место числа (*) можно поставить одно из 5 чисел: $-3, 0, 0.(317), \frac{17}{3}, \sqrt{3}$.

На место знака отношения можно поставить один из 2 символов: $\in$ (принадлежит) или $\notin$ (не принадлежит).

На место множества (■) можно поставить один из 3 символов: $N$ (натуральные числа), $Z$ (целые числа), $Q$ (рациональные числа).

а) Сколько получится утверждений, у которых на последнем месте стоит Z?

Чтобы составить утверждение, в котором на последнем месте стоит множество целых чисел $Z$, нам нужно выбрать:

• Одно из 5 данных чисел.
• Один из 2 символов отношения ($\in$ или $\notin$).
• Множество уже выбрано — это $Z$ (1 вариант).

Таким образом, по правилу произведения в комбинаторике, количество таких утверждений равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $5 \times 2 \times 1 = 10$.

Ответ: 10.

б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений.

Дерево вариантов будет иметь три уровня ветвления. На первом уровне — выбор числа, на втором — выбор знака отношения, на третьем — выбор множества.

• -3
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• 0
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• 0.(317)
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• $\frac{17}{3}$
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• $\sqrt{3}$
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$

Ответ: дерево вариантов представлено выше в виде вложенного списка.

в) Сколько всего утверждений получится?

Для нахождения общего количества утверждений воспользуемся правилом произведения. Нам нужно выбрать:

• Одно из 5 чисел.
• Один из 2 символов отношения.
• Одно из 3 множеств.

Общее количество утверждений равно: $5 \times 2 \times 3 = 30$.

Ответ: 30.

г) Сколько среди них верных утверждений?

Для любого числа $x$ и любого множества $S$ одно и только одно из двух утверждений является верным: либо $x \in S$, либо $x \notin S$.

Мы можем составить пары вида (число, множество). Количество таких пар равно произведению числа вариантов для чисел (5) и числа вариантов для множеств (3): $5 \times 3 = 15$ пар.

Для каждой из этих 15 пар существует ровно одно верное утверждение. Например, для пары $(-3, Z)$ верным является утверждение $-3 \in Z$, а для пары $(\sqrt{3}, Q)$ верным является утверждение $\sqrt{3} \notin Q$.

Следовательно, общее количество верных утверждений равно общему количеству пар (число, множество), то есть 15.

Для детальной проверки проанализируем каждое число:

• -3: является целым и рациональным, но не натуральным. Верные утверждения: $-3 \notin N$, $-3 \in Z$, $-3 \in Q$. (3 верных утверждения).
• 0: является целым и рациональным. В стандартном определении не является натуральным числом ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$). Верные утверждения: $0 \notin N$, $0 \in Z$, $0 \in Q$. (3 верных утверждения).
• 0.(317): является рациональным числом ($=\frac{317}{999}$), но не целым и не натуральным. Верные утверждения: $0.(317) \notin N$, $0.(317) \notin Z$, $0.(317) \in Q$. (3 верных утверждения).
• $\frac{17}{3}$: является рациональным числом, но не целым и не натуральным. Верные утверждения: $\frac{17}{3} \notin N$, $\frac{17}{3} \notin Z$, $\frac{17}{3} \in Q$. (3 верных утверждения).
• $\sqrt{3}$: является иррациональным числом, поэтому не принадлежит ни одному из множеств $N, Z, Q$. Верные утверждения: $\sqrt{3} \notin N$, $\sqrt{3} \notin Z$, $\sqrt{3} \notin Q$. (3 верных утверждения).

Суммируя количество верных утверждений для каждого числа, получаем: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$.

Ответ: 15.