Номер 17.40, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.40, страница 97.

Условие.

Решите графически неравенство:

17.40

a) $|x| \geq 3$;

б) $x^2 > |x|$;

в) $-|x| < 4$;

г) $\sqrt{x} \geq |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для графического решения неравенств необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях неравенства, а затем определить, на каких промежутках график одной функции расположен выше (или ниже) графика другой функции в соответствии со знаком неравенства.

а) $|x| \ge 3$

Рассмотрим две функции: $y_1 = |x|$ и $y_2 = 3$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = |x|$ находится не ниже (то есть на или выше) графика функции $y_2 = 3$.
График функции $y_1 = |x|$ представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0,0)$.
График функции $y_2 = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0,3)$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.
Из графика видно, что график функции $y_1 = |x|$ расположен на или выше прямой $y_2 = 3$ при $x \le -3$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) $x^2 > |x|$

Рассмотрим две функции: $y_1 = x^2$ и $y_2 = |x|$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = x^2$ находится строго выше графика функции $y_2 = |x|$.
График функции $y_1 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.
График функции $y_2 = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(0,0)$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = |x|$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как $|x|^2 - |x| = 0$, или $|x|(|x|-1) = 0$. Отсюда получаем $|x|=0$ или $|x|=1$.
Из $|x|=0$ следует $x=0$.
Из $|x|=1$ следует $x=1$ и $x=-1$.
Точки пересечения: $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Из графика видно, что парабола $y_1 = x^2$ расположена строго выше графика $y_2 = |x|$ на интервалах $x < -1$ и $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

в) $-|x| < 4$

Рассмотрим две функции: $y_1 = -|x|$ и $y_2 = 4$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = -|x|$ находится строго ниже графика функции $y_2 = 4$.
График функции $y_1 = -|x|$ представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.
График функции $y_2 = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0,4)$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $-|x|=4$, или $|x|=-4$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики не пересекаются.
Максимальное значение функции $y_1 = -|x|$ равно 0 (при $x=0$). Все остальные значения этой функции отрицательны. Прямая $y_2=4$ всегда находится выше графика $y_1 = -|x|$. Таким образом, неравенство $-|x| < 4$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

г) $\sqrt{x} \ge |x|$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = |x|$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = \sqrt{x}$ находится не ниже (то есть на или выше) графика функции $y_2 = |x|$.
Область определения функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Поэтому мы будем рассматривать неравенство только для неотрицательных $x$.
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Таким образом, неравенство принимает вид $\sqrt{x} \ge x$.
График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$.
График функции $y_2 = x$ (для $x \ge 0$) — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к оси $Ox$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\sqrt{x} = x$. Возведем обе части в квадрат: $x = x^2$. Перенесем все в одну сторону: $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=1$. Оба корня принадлежат области определения $x \ge 0$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Из графика видно, что на отрезке $[0, 1]$ график функции $y_1 = \sqrt{x}$ расположен на или выше графика $y_2 = x$. При $x>1$ график корня находится ниже прямой.

Ответ: $x \in [0, 1]$.