Номер 17.33, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.33, страница 96.

Условие.

17.33 a) $\sqrt{(5-\sqrt{30})^2} + \sqrt{(6-\sqrt{30})^2};$

б) $\sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2};$

в) $\sqrt{(6-\sqrt{42})^2} + \sqrt{(7-\sqrt{42})^2};$

г) $\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2-2\sqrt{2})^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения данного примера воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – модуль числа $a$.

Исходное выражение: $\sqrt{(5 - \sqrt{30})^2} + \sqrt{(6 - \sqrt{30})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|5 - \sqrt{30}| + |6 - \sqrt{30}|$.

Чтобы раскрыть модули, необходимо определить знак выражений, стоящих под знаком модуля.

1. Сравним числа $5$ и $\sqrt{30}$. Для этого сравним их квадраты: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{30})^2 = 30$.
Поскольку $25 < 30$, то $5 < \sqrt{30}$, а значит, разность $5 - \sqrt{30}$ отрицательна. Следовательно, $|5 - \sqrt{30}| = -(5 - \sqrt{30}) = \sqrt{30} - 5$.

2. Сравним числа $6$ и $\sqrt{30}$. Сравним их квадраты: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{30})^2 = 30$.
Поскольку $36 > 30$, то $6 > \sqrt{30}$, а значит, разность $6 - \sqrt{30}$ положительна. Следовательно, $|6 - \sqrt{30}| = 6 - \sqrt{30}$.

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и вычислим сумму:
$(\sqrt{30} - 5) + (6 - \sqrt{30}) = \sqrt{30} - 5 + 6 - \sqrt{30} = 1$.

Ответ: 1.

б)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|4 - 2\sqrt{3}| + |3 - 2\sqrt{3}|$.

1. Сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, следовательно, выражение $4 - 2\sqrt{3}$ положительное. Значит, $|4 - 2\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

2. Сравним $3$ и $2\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{3})^2 = 12$.
Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, следовательно, выражение $3 - 2\sqrt{3}$ отрицательное. Значит, $|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$.

3. Сложим результаты:
$(4 - 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = 1$.

Ответ: 1.

в)

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(6 - \sqrt{42})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{42})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|6 - \sqrt{42}| + |7 - \sqrt{42}|$.

1. Сравним $6$ и $\sqrt{42}$. Возведем в квадрат: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{42})^2 = 42$.
Поскольку $36 < 42$, то $6 < \sqrt{42}$, следовательно, выражение $6 - \sqrt{42}$ отрицательное. Значит, $|6 - \sqrt{42}| = -(6 - \sqrt{42}) = \sqrt{42} - 6$.

2. Сравним $7$ и $\sqrt{42}$. Возведем в квадрат: $7^2 = 49$ и $(\sqrt{42})^2 = 42$.
Поскольку $49 > 42$, то $7 > \sqrt{42}$, следовательно, выражение $7 - \sqrt{42}$ положительное. Значит, $|7 - \sqrt{42}| = 7 - \sqrt{42}$.

3. Выполним сложение:
$(\sqrt{42} - 6) + (7 - \sqrt{42}) = \sqrt{42} - 6 + 7 - \sqrt{42} = 1$.

Ответ: 1.

г)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|3 - 2\sqrt{2}| + |2 - 2\sqrt{2}|$.

1. Сравним $3$ и $2\sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Так как $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, значит, выражение $3 - 2\sqrt{2}$ положительное. Следовательно, $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$.

2. Сравним $2$ и $2\sqrt{2}$. Можно вынести $2$ за скобки: $2(1 - \sqrt{2})$. Так как $\sqrt{2} > 1$, разность $1 - \sqrt{2}$ отрицательна, а значит и все выражение $2 - 2\sqrt{2}$ отрицательное.
Следовательно, $|2 - 2\sqrt{2}| = -(2 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2$.

3. Сложим полученные выражения:
$(3 - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 1$.

Ответ: 1.