Номер 17.34, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.34, страница 96.

Условие.

17.34 Упростите выражение $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x^2 - 3x}$, если:

a) $x < 0;

б) $0 < x < 1;

в) $x > 1;

г) $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{4}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x^2 - 3x}$ необходимо рассмотреть знаки подмодульных выражений $x-1$ и $x$ в каждом из указанных промежутков.

Сначала преобразуем знаменатель: $3x^2 - 3x = 3x(x - 1)$. Таким образом, выражение имеет вид $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)}$. Область определения выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

а) если $x < 0$
В этом случае оба подмодульных выражения отрицательны: $x < 0$ и $x - 1 < -1 < 0$.
Следовательно, $|x| = -x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(1 - x) + (-x) + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x - x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x}{3x(x - 1)}$
Так как $1 - x = -(x - 1)$, получаем:
$\frac{-(x - 1)}{3x(x - 1)}$
Поскольку $x < 0$, то $x \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$-\frac{1}{3x}$
Ответ: $-\frac{1}{3x}$

б) если $0 < x < 1$
В этом случае $x > 0$, а $x - 1 < 0$.
Следовательно, $|x| = x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(1 - x) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 + x}{3x(x - 1)}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{1 + x}{3x(x - 1)}$

в) если $x > 1$
В этом случае оба подмодульных выражения положительны: $x > 1 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Следовательно, $|x| = x$ и $|x - 1| = x - 1$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(x - 1) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{3x - 1}{3x(x - 1)}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{3x - 1}{3x(x - 1)}$

г) если $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{4}$
Этот промежуток является частью промежутка $0 < x < 1$, рассмотренного в пункте б).
Для любого $x$ из этого промежутка, $x > 0$ и $x - 1 < 0$.
Следовательно, как и в пункте б), $|x| = x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Упрощение выражения будет таким же, как и в пункте б):
$\frac{(1 - x) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 + x}{3x(x - 1)}$
Ответ: $\frac{1 + x}{3x(x - 1)}$