Номер 17.36, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.36, страница 96.

Условие.

17.36 Упростите выражение $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}$, если:

а) $x < -2$;

б) $-2 < x < 3$;

в) $x > 3$;

г) $-7 \leq x \leq -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Сначала упростим выражение под каждым корнем. Заметим, что оба подкоренных выражения являются полными квадратами, так как они соответствуют формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-3)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем выражение с модулями:

$|x+2| - |x-3|$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, раскрывая модули в зависимости от знака подмодульного выражения на заданном интервале.

а) если $x < -2$

При $x < -2$, выражение $x+2$ будет отрицательным ($x+2 < 0$). Следовательно, по определению модуля, $|x+2| = -(x+2)$.

Также, если $x < -2$, то выражение $x-3$ тем более будет отрицательным ($x-3 < -2-3 = -5$). Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = -(x+2) - (-(x-3)) = -x - 2 - (-x + 3) = -x - 2 + x - 3 = -5$

Ответ: -5

б) если $-2 < x < 3$

При $-2 < x < 3$, выражение $x+2$ будет положительным, так как $x > -2$ ($x+2 > 0$). Следовательно, $|x+2| = x+2$.

В то же время, выражение $x-3$ будет отрицательным, так как $x < 3$ ($x-3 < 0$). Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = (x+2) - (-(x-3)) = x + 2 + (x - 3) = x + 2 + x - 3 = 2x - 1$

Ответ: $2x-1$

в) если $x > 3$

При $x > 3$, выражение $x+2$ будет положительным ($x+2 > 3+2=5 > 0$). Следовательно, $|x+2| = x+2$.

Выражение $x-3$ также будет положительным ($x-3 > 0$). Следовательно, $|x-3| = x-3$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = (x+2) - (x-3) = x + 2 - x + 3 = 5$

Ответ: 5

г) если $-7 \le x \le -4$

Данный интервал является подмножеством интервала из пункта а), так как любое значение $x$ из отрезка $[-7, -4]$ удовлетворяет условию $x < -2$. Поэтому результат должен быть таким же, как и в пункте а). Проверим это напрямую.

Если $-7 \le x \le -4$, то $x+2 \le -4+2 = -2$, то есть $x+2 < 0$. Следовательно, $|x+2| = -(x+2)$.

Если $-7 \le x \le -4$, то $x-3 \le -4-3 = -7$, то есть $x-3 < 0$. Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = -(x+2) - (-(x-3)) = -x - 2 + x - 3 = -5$

Ответ: -5