Номер 17.38, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.38, страница 96.

Условие.

Решите графически систему уравнений:

17.38 а) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = 0.5x + 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 3, \\ y = -|x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -|x|, \\ y = \frac{1}{3}x - 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x - 1, \\ y = |x|. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим графики обеих функций в одной системе координат.
$ \begin{cases} y = |x| \\ y = 0,5x + 3 \end{cases} $

1. График функции $y = |x|$ — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$ это луч $y=x$, а при $x < 0$ — это луч $y=-x$.

2. График функции $y = 0,5x + 3$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 4$. Точка $(2; 4)$.

На координатной плоскости графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и будут решением системы. Найдём их, рассмотрев два случая раскрытия модуля.
Случай 1: $x \ge 0$.
Тогда $|x| = x$, и система принимает вид $y = x$ и $y = 0,5x + 3$.
Приравниваем правые части: $x = 0,5x + 3 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.
Если $x=6$, то $y=6$. Первая точка пересечения: $(6; 6)$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$, и система принимает вид $y = -x$ и $y = 0,5x + 3$.
Приравниваем правые части: $-x = 0,5x + 3 \implies -1,5x = 3 \implies x = -2$.
Если $x=-2$, то $y = -(-2) = 2$. Вторая точка пересечения: $(-2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2), (6; 6)$.

б)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -|x| \end{cases} $

1. График функции $y = 2x - 3$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.

2. График функции $y = -|x|$ — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат, ветви которых направлены вниз. При $x \ge 0$ это луч $y=-x$, а при $x < 0$ — это луч $y=x$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка находится в области, где $x \ge 0$, поэтому $|x|=x$ и $y=-x$.
Приравниваем правые части уравнений:
$2x - 3 = -x \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Тогда $y = -1$. Точка пересечения: $(1; -1)$.
Проверим, есть ли решения для $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$ и $y = -(-x) = x$.
$2x - 3 = x \implies x = 3$. Это значение не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, в этой области пересечений нет.

Ответ: $(1; -1)$.

в)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = -|x| \\ y = \frac{1}{3}x - 4 \end{cases} $

1. График функции $y = -|x|$ — это "перевернутая галочка" с вершиной в точке (0; 0) и ветвями, направленными вниз.

2. График функции $y = \frac{1}{3}x - 4$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Построив графики, видим две точки пересечения. Найдём их координаты, раскрыв модуль.
Случай 1: $x \ge 0$.
Тогда $y = -x$. Приравниваем: $-x = \frac{1}{3}x - 4 \implies -\frac{4}{3}x = -4 \implies x = 3$.
Если $x=3$, то $y=-3$. Первая точка пересечения: $(3; -3)$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $y = -(-x) = x$. Приравниваем: $x = \frac{1}{3}x - 4 \implies \frac{2}{3}x = -4 \implies x = -6$.
Если $x=-6$, то $y=-6$. Вторая точка пересечения: $(-6; -6)$.

Ответ: $(3; -3), (-6; -6)$.

г)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = x - 1 \\ y = |x| \end{cases} $

1. График функции $y = x - 1$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• при $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.

2. График функции $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке (0; 0) и ветвями, направленными вверх.

Построив графики, можно увидеть, что они не пересекаются. Прямая $y = x - 1$ параллельна правому лучу графика $y = |x|$ (лучу $y=x$) и смещена на 1 единицу вниз.
Проверим это аналитически.
Случай 1: $x \ge 0$.
$y = x$. Приравниваем: $x - 1 = x \implies -1 = 0$. Это неверно, решений нет.
Случай 2: $x < 0$.
$y = -x$. Приравниваем: $x - 1 = -x \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$.
Это значение не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, решений в этой области тоже нет.
Так как ни в одном из случаев нет решений, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.