Номер 17.32, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.32, страница 96.

Условие.

17.32 a) $2 + \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2};$

б) $4 + \sqrt{6} - \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2};$

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{7} + 2;$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} - \sqrt{10} - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2 + \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$

Для решения этого примера воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3|$

Далее необходимо определить знак выражения под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.

Так как $5 < 9$, то и $\sqrt{5} < 3$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 3$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Следовательно:

$|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = 3 - \sqrt{5}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$2 + \sqrt{5} - (3 - \sqrt{5})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5} = (2 - 3) + (\sqrt{5} + \sqrt{5}) = -1 + 2\sqrt{5}$

Ответ: $-1 + 2\sqrt{5}$.

б) $4 + \sqrt{6} - \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2} = |\sqrt{6} - 2|$

Определим знак выражения $\sqrt{6} - 2$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{6})^2 = 6$ и $2^2 = 4$.

Так как $6 > 4$, то $\sqrt{6} > 2$. Это означает, что разность $\sqrt{6} - 2$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно ($a > 0$), то $|a| = a$. Следовательно:

$|\sqrt{6} - 2| = \sqrt{6} - 2$

Подставим результат в исходное выражение:

$4 + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - 2)$

Раскроем скобки и упростим:

$4 + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 = (4 + 2) + (\sqrt{6} - \sqrt{6}) = 6$

Ответ: $6$.

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{7} + 2$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к первому слагаемому:

$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$

Определим знак выражения $2 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$. Это означает, что разность $2 - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль: $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - 2) + \sqrt{7} + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{7} + \sqrt{7}) + (-2 + 2) = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} - \sqrt{10} - 4$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} = |\sqrt{10} - 4|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - 4$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $4^2 = 16$.

Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{10} - 4$ является отрицательным числом.

Раскроем модуль со знаком минус: $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(4 - \sqrt{10}) - \sqrt{10} - 4$

Упростим выражение:

$4 - \sqrt{10} - \sqrt{10} - 4 = (4 - 4) + (-\sqrt{10} - \sqrt{10}) = -2\sqrt{10}$

Ответ: $-2\sqrt{10}$.