Номер 17.39, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.39, страница 96.

Условие.

17.39 a) $\begin{cases} y = 3|x|, \\ y = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{2}|x|, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 3|x|$ и $y = x^2$, необходимо решить систему уравнений, приравняв их правые части:
$x^2 = 3|x|$.
Для решения данного уравнения рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = x^2$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3^2 = 9$. Получаем точку $(3; 9)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = 3(-x)$
$x^2 = -3x$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) и $x_4 = -3$.
Найдем соответствующее значение $y$ для $x_4 = -3$:
$y_4 = (-3)^2 = 9$.
Получаем точку $(-3; 9)$.

Таким образом, система имеет три решения.
Ответ: $(0; 0)$, $(3; 9)$, $(-3; 9)$.

б)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{2}|x|$ и $y = \sqrt{x}$, решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}|x| \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $$ Область допустимых значений для функции $y = \sqrt{x}$ определяется условием $x \ge 0$. Это означает, что мы ищем решения только для неотрицательных значений $x$.
При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и первое уравнение принимает вид $y = \frac{1}{2}x$.
Приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{2}x = \sqrt{x}$.

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат. Так как при $x \ge 0$ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.
$(\frac{1}{2}x)^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{4}x^2 = x$
$\frac{1}{4}x^2 - x = 0$
$x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $\frac{1}{4}x - 1 = 0$.
Из второго уравнения находим $x_2 = 4$.
Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$, удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0; 0)$, $(4; 2)$.