Страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Упростите выражение:

17.31 а) $ \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2}; $

б) $ \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}; $

в) $ \frac{\sqrt{x^2 + 10x + 25}}{x + 5}; $

г) $ \frac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 36}}. $

а) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2}$.
Выражение в числителе под знаком корня, $x^2 - 4x + 4$, является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{x - 2}$.
Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\frac{|x - 2|}{x - 2}$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x - 2$.
1. Если $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Выражение равно $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$.
2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2)$. Выражение равно $\frac{-(x - 2)}{x - 2} = -1$.
При $x = 2$ знаменатель обращается в ноль, поэтому выражение не определено.
Ответ: $1$ при $x > 2$; $-1$ при $x < 2$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}$.
Выражение в знаменателе под знаком корня, $x^2 + 6x + 9$, является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{x + 3}{\sqrt{(x + 3)^2}}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\frac{x + 3}{|x + 3|}$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x + 3$.
1. Если $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$, то $|x + 3| = x + 3$. Выражение равно $\frac{x + 3}{x + 3} = 1$.
2. Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$, то $|x + 3| = -(x + 3)$. Выражение равно $\frac{x + 3}{-(x + 3)} = -1$.
При $x = -3$ знаменатель обращается в ноль, поэтому выражение не определено.
Ответ: $1$ при $x > -3$; $-1$ при $x < -3$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{x^2 + 10x + 25}}{x + 5}$.
Выражение в числителе под знаком корня, $x^2 + 10x + 25$, является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{\sqrt{(x + 5)^2}}{x + 5}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\frac{|x + 5|}{x + 5}$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x + 5$.
1. Если $x + 5 > 0$, то есть $x > -5$, то $|x + 5| = x + 5$. Выражение равно $\frac{x + 5}{x + 5} = 1$.
2. Если $x + 5 < 0$, то есть $x < -5$, то $|x + 5| = -(x + 5)$. Выражение равно $\frac{-(x + 5)}{x + 5} = -1$.
При $x = -5$ знаменатель обращается в ноль, поэтому выражение не определено.
Ответ: $1$ при $x > -5$; $-1$ при $x < -5$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 36}}$.
Выражение в знаменателе под знаком корня, $x^2 - 12x + 36$, является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x - 6)^2$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{x - 6}{\sqrt{(x - 6)^2}}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\frac{x - 6}{|x - 6|}$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x - 6$.
1. Если $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$, то $|x - 6| = x - 6$. Выражение равно $\frac{x - 6}{x - 6} = 1$.
2. Если $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$, то $|x - 6| = -(x - 6)$. Выражение равно $\frac{x - 6}{-(x - 6)} = -1$.
При $x = 6$ знаменатель обращается в ноль, поэтому выражение не определено.
Ответ: $1$ при $x > 6$; $-1$ при $x < 6$.

17.32 a) $2 + \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2};$

б) $4 + \sqrt{6} - \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2};$

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{7} + 2;$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} - \sqrt{10} - 4.$

а) $2 + \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$

Для решения этого примера воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3|$

Далее необходимо определить знак выражения под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.

Так как $5 < 9$, то и $\sqrt{5} < 3$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 3$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Следовательно:

$|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = 3 - \sqrt{5}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$2 + \sqrt{5} - (3 - \sqrt{5})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5} = (2 - 3) + (\sqrt{5} + \sqrt{5}) = -1 + 2\sqrt{5}$

Ответ: $-1 + 2\sqrt{5}$.

б) $4 + \sqrt{6} - \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2} = |\sqrt{6} - 2|$

Определим знак выражения $\sqrt{6} - 2$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{6})^2 = 6$ и $2^2 = 4$.

Так как $6 > 4$, то $\sqrt{6} > 2$. Это означает, что разность $\sqrt{6} - 2$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно ($a > 0$), то $|a| = a$. Следовательно:

$|\sqrt{6} - 2| = \sqrt{6} - 2$

Подставим результат в исходное выражение:

$4 + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - 2)$

Раскроем скобки и упростим:

$4 + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 = (4 + 2) + (\sqrt{6} - \sqrt{6}) = 6$

Ответ: $6$.

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{7} + 2$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к первому слагаемому:

$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$

Определим знак выражения $2 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$. Это означает, что разность $2 - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль: $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - 2) + \sqrt{7} + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{7} + \sqrt{7}) + (-2 + 2) = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} - \sqrt{10} - 4$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} = |\sqrt{10} - 4|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - 4$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $4^2 = 16$.

Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{10} - 4$ является отрицательным числом.

Раскроем модуль со знаком минус: $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(4 - \sqrt{10}) - \sqrt{10} - 4$

Упростим выражение:

$4 - \sqrt{10} - \sqrt{10} - 4 = (4 - 4) + (-\sqrt{10} - \sqrt{10}) = -2\sqrt{10}$

Ответ: $-2\sqrt{10}$.

17.33 a) $\sqrt{(5-\sqrt{30})^2} + \sqrt{(6-\sqrt{30})^2};$

б) $\sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2};$

в) $\sqrt{(6-\sqrt{42})^2} + \sqrt{(7-\sqrt{42})^2};$

г) $\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2-2\sqrt{2})^2}.$

а)

Для решения данного примера воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – модуль числа $a$.

Исходное выражение: $\sqrt{(5 - \sqrt{30})^2} + \sqrt{(6 - \sqrt{30})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|5 - \sqrt{30}| + |6 - \sqrt{30}|$.

Чтобы раскрыть модули, необходимо определить знак выражений, стоящих под знаком модуля.

1. Сравним числа $5$ и $\sqrt{30}$. Для этого сравним их квадраты: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{30})^2 = 30$.
Поскольку $25 < 30$, то $5 < \sqrt{30}$, а значит, разность $5 - \sqrt{30}$ отрицательна. Следовательно, $|5 - \sqrt{30}| = -(5 - \sqrt{30}) = \sqrt{30} - 5$.

2. Сравним числа $6$ и $\sqrt{30}$. Сравним их квадраты: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{30})^2 = 30$.
Поскольку $36 > 30$, то $6 > \sqrt{30}$, а значит, разность $6 - \sqrt{30}$ положительна. Следовательно, $|6 - \sqrt{30}| = 6 - \sqrt{30}$.

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и вычислим сумму:
$(\sqrt{30} - 5) + (6 - \sqrt{30}) = \sqrt{30} - 5 + 6 - \sqrt{30} = 1$.

Ответ: 1.

б)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|4 - 2\sqrt{3}| + |3 - 2\sqrt{3}|$.

1. Сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, следовательно, выражение $4 - 2\sqrt{3}$ положительное. Значит, $|4 - 2\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

2. Сравним $3$ и $2\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{3})^2 = 12$.
Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, следовательно, выражение $3 - 2\sqrt{3}$ отрицательное. Значит, $|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$.

3. Сложим результаты:
$(4 - 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = 1$.

Ответ: 1.

в)

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(6 - \sqrt{42})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{42})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|6 - \sqrt{42}| + |7 - \sqrt{42}|$.

1. Сравним $6$ и $\sqrt{42}$. Возведем в квадрат: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{42})^2 = 42$.
Поскольку $36 < 42$, то $6 < \sqrt{42}$, следовательно, выражение $6 - \sqrt{42}$ отрицательное. Значит, $|6 - \sqrt{42}| = -(6 - \sqrt{42}) = \sqrt{42} - 6$.

2. Сравним $7$ и $\sqrt{42}$. Возведем в квадрат: $7^2 = 49$ и $(\sqrt{42})^2 = 42$.
Поскольку $49 > 42$, то $7 > \sqrt{42}$, следовательно, выражение $7 - \sqrt{42}$ положительное. Значит, $|7 - \sqrt{42}| = 7 - \sqrt{42}$.

3. Выполним сложение:
$(\sqrt{42} - 6) + (7 - \sqrt{42}) = \sqrt{42} - 6 + 7 - \sqrt{42} = 1$.

Ответ: 1.

г)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Исходное выражение: $\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2}$.

Применяя свойство, получаем: $|3 - 2\sqrt{2}| + |2 - 2\sqrt{2}|$.

1. Сравним $3$ и $2\sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Так как $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, значит, выражение $3 - 2\sqrt{2}$ положительное. Следовательно, $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$.

2. Сравним $2$ и $2\sqrt{2}$. Можно вынести $2$ за скобки: $2(1 - \sqrt{2})$. Так как $\sqrt{2} > 1$, разность $1 - \sqrt{2}$ отрицательна, а значит и все выражение $2 - 2\sqrt{2}$ отрицательное.
Следовательно, $|2 - 2\sqrt{2}| = -(2 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2$.

3. Сложим полученные выражения:
$(3 - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 1$.

Ответ: 1.

17.34 Упростите выражение $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x^2 - 3x}$, если:

a) $x < 0;

б) $0 < x < 1;

в) $x > 1;

г) $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{4}.

Для упрощения данного выражения $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x^2 - 3x}$ необходимо рассмотреть знаки подмодульных выражений $x-1$ и $x$ в каждом из указанных промежутков.

Сначала преобразуем знаменатель: $3x^2 - 3x = 3x(x - 1)$. Таким образом, выражение имеет вид $\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)}$. Область определения выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

а) если $x < 0$
В этом случае оба подмодульных выражения отрицательны: $x < 0$ и $x - 1 < -1 < 0$.
Следовательно, $|x| = -x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(1 - x) + (-x) + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x - x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x}{3x(x - 1)}$
Так как $1 - x = -(x - 1)$, получаем:
$\frac{-(x - 1)}{3x(x - 1)}$
Поскольку $x < 0$, то $x \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$-\frac{1}{3x}$
Ответ: $-\frac{1}{3x}$

б) если $0 < x < 1$
В этом случае $x > 0$, а $x - 1 < 0$.
Следовательно, $|x| = x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(1 - x) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 - x + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 + x}{3x(x - 1)}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{1 + x}{3x(x - 1)}$

в) если $x > 1$
В этом случае оба подмодульных выражения положительны: $x > 1 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Следовательно, $|x| = x$ и $|x - 1| = x - 1$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{|x - 1| + |x| + x}{3x(x - 1)} = \frac{(x - 1) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{3x - 1}{3x(x - 1)}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{3x - 1}{3x(x - 1)}$

г) если $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{4}$
Этот промежуток является частью промежутка $0 < x < 1$, рассмотренного в пункте б).
Для любого $x$ из этого промежутка, $x > 0$ и $x - 1 < 0$.
Следовательно, как и в пункте б), $|x| = x$ и $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Упрощение выражения будет таким же, как и в пункте б):
$\frac{(1 - x) + x + x}{3x(x - 1)} = \frac{1 + x}{3x(x - 1)}$
Ответ: $\frac{1 + x}{3x(x - 1)}$

17.35 Упростите выражение $\frac{|b-1|\cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|}$, если:

а) $b < 0$;

б) $0 < b < 1$;

в) $b > 1$;

г) $5 \le b \le 6$.

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть модули $|b|$ и $|b-1|$ в зависимости от знака подмодульных выражений в каждом из указанных случаев.

Исходное выражение: $\frac{|b-1| \cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|}$

Если $b < 0$, то подмодульное выражение $b$ отрицательно, следовательно, $|b| = -b$.

Если $b < 0$, то $b - 1$ также отрицательно (например, если $b = -2$, то $b-1 = -3$), следовательно, $|b-1| = -(b-1) = 1-b$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(1-b) \cdot (-b)}{b^2 - b + 1 - (-b)} = \frac{-b + b^2}{b^2 - b + 1 + b} = \frac{b^2 - b}{b^2 + 1}$

Ответ: $\frac{b^2 - b}{b^2 + 1}$

Если $0 < b < 1$, то подмодульное выражение $b$ положительно, следовательно, $|b| = b$.

Если $b < 1$, то $b-1$ отрицательно, следовательно, $|b-1| = -(b-1) = 1-b$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(1-b) \cdot b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(1-b)}{b^2 - 2b + 1}$

Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$.

$\frac{b(1-b)}{(b-1)^2} = \frac{-b(b-1)}{(b-1)^2}$

Так как $b \ne 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$\frac{-b}{b-1} = \frac{b}{1-b}$

Ответ: $\frac{b}{1-b}$

Если $b > 1$, то подмодульное выражение $b$ положительно, следовательно, $|b| = b$.

Если $b > 1$, то $b-1$ также положительно, следовательно, $|b-1| = b-1$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(b-1) \cdot b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(b-1)}{b^2 - 2b + 1}$

Знаменатель, как и в предыдущем пункте, равен $(b-1)^2$.

$\frac{b(b-1)}{(b-1)^2}$

Так как $b \ne 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$\frac{b}{b-1}$

Ответ: $\frac{b}{b-1}$

Данный случай является частным случаем предыдущего, так как если $5 \le b \le 6$, то $b > 1$.

Поэтому результат будет таким же, как и в пункте в).

При $5 \le b \le 6$: $|b| = b$ и $|b-1| = b-1$.

$\frac{|b-1| \cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|} = \frac{(b-1)b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(b-1)}{(b-1)^2} = \frac{b}{b-1}$

Сокращение возможно, так как в данном диапазоне $b \ne 1$.

Ответ: $\frac{b}{b-1}$

17.36 Упростите выражение $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}$, если:

а) $x < -2$;

б) $-2 < x < 3$;

в) $x > 3$;

г) $-7 \leq x \leq -4$.

Сначала упростим выражение под каждым корнем. Заметим, что оба подкоренных выражения являются полными квадратами, так как они соответствуют формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-3)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем выражение с модулями:

$|x+2| - |x-3|$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, раскрывая модули в зависимости от знака подмодульного выражения на заданном интервале.

а) если $x < -2$

При $x < -2$, выражение $x+2$ будет отрицательным ($x+2 < 0$). Следовательно, по определению модуля, $|x+2| = -(x+2)$.

Также, если $x < -2$, то выражение $x-3$ тем более будет отрицательным ($x-3 < -2-3 = -5$). Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = -(x+2) - (-(x-3)) = -x - 2 - (-x + 3) = -x - 2 + x - 3 = -5$

Ответ: -5

б) если $-2 < x < 3$

При $-2 < x < 3$, выражение $x+2$ будет положительным, так как $x > -2$ ($x+2 > 0$). Следовательно, $|x+2| = x+2$.

В то же время, выражение $x-3$ будет отрицательным, так как $x < 3$ ($x-3 < 0$). Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = (x+2) - (-(x-3)) = x + 2 + (x - 3) = x + 2 + x - 3 = 2x - 1$

Ответ: $2x-1$

в) если $x > 3$

При $x > 3$, выражение $x+2$ будет положительным ($x+2 > 3+2=5 > 0$). Следовательно, $|x+2| = x+2$.

Выражение $x-3$ также будет положительным ($x-3 > 0$). Следовательно, $|x-3| = x-3$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = (x+2) - (x-3) = x + 2 - x + 3 = 5$

Ответ: 5

г) если $-7 \le x \le -4$

Данный интервал является подмножеством интервала из пункта а), так как любое значение $x$ из отрезка $[-7, -4]$ удовлетворяет условию $x < -2$. Поэтому результат должен быть таким же, как и в пункте а). Проверим это напрямую.

Если $-7 \le x \le -4$, то $x+2 \le -4+2 = -2$, то есть $x+2 < 0$. Следовательно, $|x+2| = -(x+2)$.

Если $-7 \le x \le -4$, то $x-3 \le -4-3 = -7$, то есть $x-3 < 0$. Следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x+2| - |x-3| = -(x+2) - (-(x-3)) = -x - 2 + x - 3 = -5$

Ответ: -5

17.37 Упростите выражение

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 2x + 1} - 2\sqrt{x^2 - 10x + 25}$, если:

а) $x < -1$;

б) $-1 < x < 2$;

в) $2 < x < 5$;

г) $x > 5$.

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что каждое подкоренное выражение представляет собой полный квадрат:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x+1)^2} - 2\sqrt{(x-5)^2}$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем выражение с модулями:

$|x-2| + |x+1| - 2|x-5|$

Теперь раскроем модули для каждого из заданных интервалов.

а) $x < -1$

В этом интервале все выражения под знаком модуля отрицательны:
$x-2 < 0$, следовательно $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
$x+1 < 0$, следовательно $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(-x+2) + (-x-1) - 2(-x+5) = -x+2-x-1+2x-10 = (-x-x+2x) + (2-1-10) = -9$.

Ответ: $-9$

б) $-1 < x < 2$

В этом интервале:
$x-2 < 0$, следовательно $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(-x+2) + (x+1) - 2(-x+5) = -x+2+x+1+2x-10 = (-x+x+2x) + (2+1-10) = 2x-7$.

Ответ: $2x-7$

в) $2 < x < 5$

В этом интервале:
$x-2 > 0$, следовательно $|x-2| = x-2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(x-2) + (x+1) - 2(-x+5) = x-2+x+1+2x-10 = (x+x+2x) + (-2+1-10) = 4x-11$.

Ответ: $4x-11$

г) $x > 5$

В этом случае все выражения под знаком модуля положительны:
$x-2 > 0$, следовательно $|x-2| = x-2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 > 0$, следовательно $|x-5| = x-5$.
Подставляем в выражение:
$(x-2) + (x+1) - 2(x-5) = x-2+x+1-2x+10 = (x+x-2x) + (-2+1+10) = 9$.

Ответ: $9$

Решите графически систему уравнений:

17.38 а) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = 0.5x + 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 3, \\ y = -|x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -|x|, \\ y = \frac{1}{3}x - 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x - 1, \\ y = |x|. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим графики обеих функций в одной системе координат.
$ \begin{cases} y = |x| \\ y = 0,5x + 3 \end{cases} $

1. График функции $y = |x|$ — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$ это луч $y=x$, а при $x < 0$ — это луч $y=-x$.

2. График функции $y = 0,5x + 3$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 4$. Точка $(2; 4)$.

На координатной плоскости графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и будут решением системы. Найдём их, рассмотрев два случая раскрытия модуля.
Случай 1: $x \ge 0$.
Тогда $|x| = x$, и система принимает вид $y = x$ и $y = 0,5x + 3$.
Приравниваем правые части: $x = 0,5x + 3 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.
Если $x=6$, то $y=6$. Первая точка пересечения: $(6; 6)$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$, и система принимает вид $y = -x$ и $y = 0,5x + 3$.
Приравниваем правые части: $-x = 0,5x + 3 \implies -1,5x = 3 \implies x = -2$.
Если $x=-2$, то $y = -(-2) = 2$. Вторая точка пересечения: $(-2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2), (6; 6)$.

б)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -|x| \end{cases} $

1. График функции $y = 2x - 3$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.

2. График функции $y = -|x|$ — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат, ветви которых направлены вниз. При $x \ge 0$ это луч $y=-x$, а при $x < 0$ — это луч $y=x$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка находится в области, где $x \ge 0$, поэтому $|x|=x$ и $y=-x$.
Приравниваем правые части уравнений:
$2x - 3 = -x \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Тогда $y = -1$. Точка пересечения: $(1; -1)$.
Проверим, есть ли решения для $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$ и $y = -(-x) = x$.
$2x - 3 = x \implies x = 3$. Это значение не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, в этой области пересечений нет.

Ответ: $(1; -1)$.

в)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = -|x| \\ y = \frac{1}{3}x - 4 \end{cases} $

1. График функции $y = -|x|$ — это "перевернутая галочка" с вершиной в точке (0; 0) и ветвями, направленными вниз.

2. График функции $y = \frac{1}{3}x - 4$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Построив графики, видим две точки пересечения. Найдём их координаты, раскрыв модуль.
Случай 1: $x \ge 0$.
Тогда $y = -x$. Приравниваем: $-x = \frac{1}{3}x - 4 \implies -\frac{4}{3}x = -4 \implies x = 3$.
Если $x=3$, то $y=-3$. Первая точка пересечения: $(3; -3)$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $y = -(-x) = x$. Приравниваем: $x = \frac{1}{3}x - 4 \implies \frac{2}{3}x = -4 \implies x = -6$.
Если $x=-6$, то $y=-6$. Вторая точка пересечения: $(-6; -6)$.

Ответ: $(3; -3), (-6; -6)$.

г)

Решим систему уравнений графически:
$ \begin{cases} y = x - 1 \\ y = |x| \end{cases} $

1. График функции $y = x - 1$ — это прямая. Найдём две точки для построения:

• при $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• при $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.

2. График функции $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке (0; 0) и ветвями, направленными вверх.

Построив графики, можно увидеть, что они не пересекаются. Прямая $y = x - 1$ параллельна правому лучу графика $y = |x|$ (лучу $y=x$) и смещена на 1 единицу вниз.
Проверим это аналитически.
Случай 1: $x \ge 0$.
$y = x$. Приравниваем: $x - 1 = x \implies -1 = 0$. Это неверно, решений нет.
Случай 2: $x < 0$.
$y = -x$. Приравниваем: $x - 1 = -x \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$.
Это значение не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, решений в этой области тоже нет.
Так как ни в одном из случаев нет решений, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

17.39 a) $\begin{cases} y = 3|x|, \\ y = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{2}|x|, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

a)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 3|x|$ и $y = x^2$, необходимо решить систему уравнений, приравняв их правые части:
$x^2 = 3|x|$.
Для решения данного уравнения рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = x^2$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3^2 = 9$. Получаем точку $(3; 9)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = 3(-x)$
$x^2 = -3x$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) и $x_4 = -3$.
Найдем соответствующее значение $y$ для $x_4 = -3$:
$y_4 = (-3)^2 = 9$.
Получаем точку $(-3; 9)$.

Таким образом, система имеет три решения.
Ответ: $(0; 0)$, $(3; 9)$, $(-3; 9)$.

б)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{2}|x|$ и $y = \sqrt{x}$, решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}|x| \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $$ Область допустимых значений для функции $y = \sqrt{x}$ определяется условием $x \ge 0$. Это означает, что мы ищем решения только для неотрицательных значений $x$.
При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и первое уравнение принимает вид $y = \frac{1}{2}x$.
Приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{2}x = \sqrt{x}$.

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат. Так как при $x \ge 0$ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.
$(\frac{1}{2}x)^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{4}x^2 = x$
$\frac{1}{4}x^2 - x = 0$
$x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $\frac{1}{4}x - 1 = 0$.
Из второго уравнения находим $x_2 = 4$.
Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$, удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0; 0)$, $(4; 2)$.