Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

17.22 a) $|x| = 5,5$;

б) $|x| = 1$;

в) $|x| = 3$;

г) $|x| = 0,2$.

а)

Дано уравнение $|x| = 5,5$.

Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Уравнение $|x| = 5,5$ означает, что мы ищем все числа $x$, которые находятся на расстоянии $5,5$ от нуля.

На числовой прямой существуют две такие точки: одна в положительном направлении, $5,5$, и одна в отрицательном, $-5,5$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 5,5, x_2 = -5,5$.

б)

Дано уравнение $|x| = 1$.

Согласно определению модуля, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x = 1$ и $x = -1$.

Это можно показать, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $x = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $-x = 1$, откуда $x = -1$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.

Следовательно, оба найденных значения являются решениями.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

в)

Дано уравнение $|x| = 3$.

Уравнение вида $|x| = a$, где $a$ — положительное число ($a > 0$), всегда имеет два корня, которые являются противоположными числами: $x = a$ и $x = -a$.

В данном случае $a = 3$. Следовательно, решениями являются:

$x = 3$

и

$x = -3$

Проверим: $|3| = 3$ и $|-3| = 3$. Оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

г)

Дано уравнение $|x| = 0,2$.

Аналогично предыдущим примерам, мы ищем числа, модуль которых равен $0,2$. Это означает, что расстояние от этих чисел до нуля на числовой прямой равно $0,2$.

Таких чисел два — одно положительное и одно отрицательное:

$x = 0,2$

и

$x = -0,2$

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $x_1 = 0,2, x_2 = -0,2$.

17.23 a) $|x - 1| = 2;$

б) $|x - 5| = 4;$

в) $|x - 7| = 5;$

г) $|x - 11| = 9.$

а) Для решения уравнения $|x - 1| = 2$ необходимо рассмотреть два случая, исходя из определения модуля. Уравнение $|A| = b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ и $A = -b$.
Следовательно, выражение под знаком модуля $x-1$ может быть равно $2$ или $-2$.
1. Первый случай:
$x - 1 = 2$
$x = 2 + 1$
$x_1 = 3$
2. Второй случай:
$x - 1 = -2$
$x = -2 + 1$
$x_2 = -1$
Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и -1.
Ответ: $-1; 3$.

б) Решим уравнение $|x - 5| = 4$. Оно равносильно совокупности двух уравнений:
1. Первый случай:
$x - 5 = 4$
$x = 4 + 5$
$x_1 = 9$
2. Второй случай:
$x - 5 = -4$
$x = -4 + 5$
$x_2 = 1$
Корнями уравнения являются 1 и 9.
Ответ: $1; 9$.

в) Решим уравнение $|x - 7| = 5$. Раскрываем модуль, рассматривая два возможных варианта:
1. Первый случай:
$x - 7 = 5$
$x = 5 + 7$
$x_1 = 12$
2. Второй случай:
$x - 7 = -5$
$x = -5 + 7$
$x_2 = 2$
Решениями уравнения являются 2 и 12.
Ответ: $2; 12$.

г) Решим уравнение $|x - 11| = 9$. Это уравнение также распадается на два случая:
1. Первый случай:
$x - 11 = 9$
$x = 9 + 11$
$x_1 = 20$
2. Второй случай:
$x - 11 = -9$
$x = -9 + 11$
$x_2 = 2$
Получены два корня уравнения: 2 и 20.
Ответ: $2; 20$.

17.24 a) $|x + 2.5| = 1$;

б) $|x - 1\frac{5}{6}| = 2$;

в) $|x + 0.75| = 3.75$;

г) $|x - \frac{2}{3}| = \frac{1}{3}$.

а) Уравнение с модулем $|x + 2,5| = 1$ решается рассмотрением двух случаев, так как выражение под знаком модуля может быть равно $1$ или $-1$.
1. Если $x + 2,5 = 1$, то $x = 1 - 2,5$. Получаем $x_1 = -1,5$.
2. Если $x + 2,5 = -1$, то $x = -1 - 2,5$. Получаем $x_2 = -3,5$.
Ответ: $-3,5; -1,5$.

б) Для решения уравнения $|x - 1\frac{5}{6}| = 2$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$.
Уравнение принимает вид $|x - \frac{11}{6}| = 2$.
Рассмотрим два случая:
1. $x - \frac{11}{6} = 2$. Тогда $x = 2 + \frac{11}{6} = \frac{12}{6} + \frac{11}{6} = \frac{23}{6}$. Преобразуя обратно в смешанное число, получаем $x_1 = 3\frac{5}{6}$.
2. $x - \frac{11}{6} = -2$. Тогда $x = -2 + \frac{11}{6} = -\frac{12}{6} + \frac{11}{6} = -\frac{1}{6}$. Таким образом, $x_2 = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}; 3\frac{5}{6}$.

в) Уравнение с модулем $|x + 0,75| = 3,75$ распадается на два случая:
1. $x + 0,75 = 3,75$. Отсюда $x = 3,75 - 0,75$, что дает $x_1 = 3$.
2. $x + 0,75 = -3,75$. Отсюда $x = -3,75 - 0,75$, что дает $x_2 = -4,5$.
Ответ: $-4,5; 3$.

г) Решим уравнение $|x - \frac{2}{3}| = \frac{1}{3}$.
Рассмотрим два возможных случая:
1. $x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Тогда $x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3}$, откуда $x_1 = 1$.
2. $x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$. Тогда $x = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.

17.25 Упростите выражение $\sqrt{(x-3)^2}$, если:

а) $x - 3 \ge 0$;

б) $x - 3 < 0$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого числа $a$ верно равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашему выражению, получим:

$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$

Теперь необходимо раскрыть модуль, учитывая условия, заданные в каждом из подпунктов.

а) если $x-3 \ge 0$:
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно (больше или равно нулю), то модуль равен самому этому выражению.
Так как $x-3 \ge 0$, то $|x-3| = x-3$.
Ответ: $x-3$.

б) если $x-3 < 0$:
По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно (меньше нуля), то модуль равен выражению, противоположному подмодульному.
Так как $x-3 < 0$, то $|x-3| = -(x-3) = -x+3 = 3-x$.
Ответ: $3-x$.

17.26 Упростите выражение $\sqrt{(x+5)^2}$, если:

а) $x + 5 > 0$;

б) $x + 5 \le 0$.

Для упрощения данного выражения необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Согласно этому свойству, корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения.

Применив это свойство к заданному выражению, получаем:

$\sqrt{(x + 5)^2} = |x + 5|$

Далее, для того чтобы раскрыть модуль, нужно рассмотреть знак выражения, стоящего под модулем, в каждом из предложенных случаев. Определение модуля числа:

• $|b| = b$, если $b \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|b| = -b$, если $b < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

В этом случае нам дано условие $x + 5 > 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является положительным. Согласно определению модуля, если выражение под модулем больше или равно нулю, то модуль равен самому этому выражению.

$|x + 5| = x + 5$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $x + 5$.

Ответ: $x + 5$.

В этом случае нам дано условие $x + 5 \le 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является неположительным (то есть отрицательным или равным нулю). Согласно определению модуля, если выражение под модулем меньше или равно нулю, то модуль равен выражению, взятому с противоположным знаком.

$|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $-(x + 5)$.

Ответ: $-(x + 5)$.

Упростите выражение:

17.27 a) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$;

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$;

г) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ используется тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это правило, получаем:
$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}|$.

Далее нужно определить знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа 1 и $\sqrt{3}$. Можно сравнить их квадраты: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Так как $1 < 3$, то $1 < \sqrt{3}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Поэтому:
$|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$.

Ответ: $\sqrt{3} - 1$

б)

Упростим выражение $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.

Определим знак выражения $2 - \sqrt{3}$. Сравним квадраты чисел: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Поскольку $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$.
Это значит, что разность $2 - \sqrt{3}$ является положительным числом.

По определению модуля, $|x| = x$, если $x \ge 0$. Поэтому:
$|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$ по формуле $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3|$.

Определим знак подмодульного выражения $\sqrt{5} - 3$. Сравним квадраты чисел: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.
Так как $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$.
Следовательно, разность $\sqrt{5} - 3$ отрицательна.

Раскрываем модуль, меняя знак выражения на противоположный:
$|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = -\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5}$.

Ответ: $3 - \sqrt{5}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2}$ по формуле $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Определим знак выражения $3 - \sqrt{6}$. Сравним квадраты чисел: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{6})^2 = 6$.
Поскольку $9 > 6$, то $3 > \sqrt{6}$.
Значит, разность $3 - \sqrt{6}$ положительна.

Раскрываем модуль, сохраняя знак выражения:
$|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Ответ: $3 - \sqrt{6}$

17.28 a) $\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2}$;

б) $\sqrt{(\pi - 3)^2}$;

в) $\sqrt{(6 - 3\sqrt{6})^2}$;

г) $\sqrt{(4 - \pi)^2}$.

а)

Для решения данного примера необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2} = |4 - 2\sqrt{5}|$

Теперь необходимо определить знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа $4$ и $2\sqrt{5}$. Чтобы сравнить их, возведем оба числа в квадрат:

$4^2 = 16$

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Так как $16 < 20$, то $4 < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $4 - 2\sqrt{5}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Применим это правило:

$|4 - 2\sqrt{5}| = -(4 - 2\sqrt{5}) = -4 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 4$

Ответ: $2\sqrt{5} - 4$.

б)

Используем то же свойство: $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\pi - 3)^2} = |\pi - 3|$

Теперь определим знак выражения под модулем. Значение числа $\pi$ (пи) приблизительно равно $3,14159...$

Поскольку $\pi > 3$, то разность $\pi - 3$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно ($a \ge 0$), то $|a| = a$. Следовательно:

$|\pi - 3| = \pi - 3$

Ответ: $\pi - 3$.

в)

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(6 - 3\sqrt{6})^2} = |6 - 3\sqrt{6}|$

Определим знак выражения $6 - 3\sqrt{6}$. Для этого сравним числа $6$ и $3\sqrt{6}$ путем возведения их в квадрат:

$6^2 = 36$

$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Так как $36 < 54$, то $6 < 3\sqrt{6}$. Следовательно, разность $6 - 3\sqrt{6}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль для отрицательного числа:

$|6 - 3\sqrt{6}| = -(6 - 3\sqrt{6}) = -6 + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6} - 6$

Ответ: $3\sqrt{6} - 6$.

г)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(4 - \pi)^2} = |4 - \pi|$

Определим знак выражения под модулем. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $4 > \pi$.

Следовательно, разность $4 - \pi$ является положительным числом.

Раскрываем модуль для положительного числа:

$|4 - \pi| = 4 - \pi$

Ответ: $4 - \pi$.

Решите уравнение:

17.29 а) $|2x - 1| = 3$;

б) $|1 + 3x| = 2$;

в) $|2 + 2x| = 6$;

г) $|4x + 1| = 5$.

а) $|2x - 1| = 3$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) Выражение под модулем равно 3:

$2x - 1 = 3$

$2x = 3 + 1$

$2x = 4$

$x_1 = \frac{4}{2} = 2$

2) Выражение под модулем равно -3:

$2x - 1 = -3$

$2x = -3 + 1$

$2x = -2$

$x_2 = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1; 2.

б) $|1 + 3x| = 2$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $1 + 3x = 2$

$3x = 2 - 1$

$3x = 1$

$x_1 = \frac{1}{3}$

2) $1 + 3x = -2$

$3x = -2 - 1$

$3x = -3$

$x_2 = \frac{-3}{3} = -1$

Ответ: -1; $\frac{1}{3}$.

в) $|2 + 2x| = 6$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $2 + 2x = 6$

$2x = 6 - 2$

$2x = 4$

$x_1 = \frac{4}{2} = 2$

2) $2 + 2x = -6$

$2x = -6 - 2$

$2x = -8$

$x_2 = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 2.

г) $|4x + 1| = 5$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $4x + 1 = 5$

$4x = 5 - 1$

$4x = 4$

$x_1 = \frac{4}{4} = 1$

2) $4x + 1 = -5$

$4x = -5 - 1$

$4x = -6$

$x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5; 1.

17.30 a) $|0.2x - 2| = 3.6;$

б) $|3 - 1.5x| = 2.5;$

в) $|2 - 3.5x| = 6.2;$

г) $|0.4x + 1| = 2.3.$

а)

Решим уравнение $|0,2x - 2| = 3,6$.

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим два случая:

1) $0,2x - 2 = 3,6$

$0,2x = 3,6 + 2$

$0,2x = 5,6$

$x = \frac{5,6}{0,2}$

$x = 28$

2) $0,2x - 2 = -3,6$

$0,2x = -3,6 + 2$

$0,2x = -1,6$

$x = \frac{-1,6}{0,2}$

$x = -8$

Ответ: $-8; 28$.

б)

Решим уравнение $|3 - 1,5x| = 2,5$.

Данное уравнение распадается на два следующих:

1) $3 - 1,5x = 2,5$

$-1,5x = 2,5 - 3$

$-1,5x = -0,5$

$x = \frac{-0,5}{-1,5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

2) $3 - 1,5x = -2,5$

$-1,5x = -2,5 - 3$

$-1,5x = -5,5$

$x = \frac{-5,5}{-1,5} = \frac{55}{15} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 3\frac{2}{3}$.

в)

Решим уравнение $|2 - 3,5x| = 6,2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $2 - 3,5x = 6,2$

$-3,5x = 6,2 - 2$

$-3,5x = 4,2$

$x = \frac{4,2}{-3,5} = -\frac{42}{35} = -\frac{6}{5} = -1,2$

2) $2 - 3,5x = -6,2$

$-3,5x = -6,2 - 2$

$-3,5x = -8,2$

$x = \frac{-8,2}{-3,5} = \frac{82}{35} = 2\frac{12}{35}$

Ответ: $-1,2; 2\frac{12}{35}$.

г)

Решим уравнение $|0,4x + 1| = 2,3$.

Уравнение равносильно двум случаям:

1) $0,4x + 1 = 2,3$

$0,4x = 2,3 - 1$

$0,4x = 1,3$

$x = \frac{1,3}{0,4} = \frac{13}{4} = 3,25$

2) $0,4x + 1 = -2,3$

$0,4x = -2,3 - 1$

$0,4x = -3,3$

$x = \frac{-3,3}{0,4} = -\frac{33}{4} = -8,25$

Ответ: $-8,25; 3,25$.