Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

17.15 Постройте график функции $y = -|x|$. С помощью графика определите:

а) при каких значениях $x \ y = -4;$

б) при каких значениях $x \ y > -4, \ y < -4;$

в) при каких значениях $y \ x > 4;$

г) при каких значениях $x$ выполняется условие $-4 \le y \le -1$.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = -|x|$.

По определению модуля, функция $y = -|x|$ может быть записана в виде кусочно-линейной функции:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
то есть
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат (точки $(0, 0)$):

• Луч $y = -x$ для $x \ge 0$ (биссектриса второго и четвертого координатных углов, но мы берем только часть в четвертом квадранте).
• Луч $y = x$ для $x < 0$ (биссектриса первого и третьего координатных углов, но мы берем только часть в третьем квадранте).

График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$) и представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

(Предполагается, что на основе этих данных построен график).
Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) при каких значениях x y = -4;
Чтобы найти значения $x$, при которых $y = -4$, нужно найти точки пересечения графика функции $y = -|x|$ с горизонтальной прямой $y = -4$. Из графика (и таблицы значений) видно, что таких точек две. Их координаты $(-4, -4)$ и $(4, -4)$. Следовательно, искомые значения $x$ — это абсциссы этих точек.
Ответ: $x = -4$ и $x = 4$.

б) при каких значениях x y > -4, y < -4;
Этот пункт содержит два условия.
1. Найдем значения $x$, при которых $y > -4$. На графике это соответствует тем участкам, где он расположен выше прямой $y = -4$. Это происходит между точками пересечения, то есть при $x$, находящихся в интервале от $-4$ до $4$.
2. Найдем значения $x$, при которых $y < -4$. На графике это соответствует тем участкам, где он расположен ниже прямой $y = -4$. Это происходит левее точки $x = -4$ и правее точки $x = 4$.
Ответ: $y > -4$ при $x \in (-4; 4)$; $y < -4$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

в) при каких значениях y x > 4;
В этом пункте нужно найти, какие значения принимает $y$, если $x > 4$. На графике мы рассматриваем ту часть луча, которая находится правее вертикальной линии $x = 4$. Для $x > 0$ функция имеет вид $y = -x$. Если $x > 4$, то, умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $-x < -4$. Поскольку $y = -x$, то $y < -4$.
Ответ: $y < -4$.

г) при каких значениях x выполняется условие $-4 \le y \le -1$.
Нам нужно найти значения $x$, для которых график функции $y = -|x|$ находится между горизонтальными линиями $y = -4$ и $y = -1$, включая сами эти линии.
Сначала найдем, при каких $x$ достигаются граничные значения $y$:

• $y = -1 \implies -|x| = -1 \implies |x| = 1 \implies x = -1$ или $x = 1$.
• $y = -4 \implies -|x| = -4 \implies |x| = 4 \implies x = -4$ или $x = 4$.

Из графика видно, что условию $-4 \le y \le -1$ удовлетворяют два отдельных участка.
Для $x \ge 0$, условие $-4 \le -x \le -1$ эквивалентно $1 \le x \le 4$.
Для $x < 0$, условие $-4 \le x \le -1$ уже дает нам искомый интервал.
Таким образом, искомые значения $x$ принадлежат двум отрезкам.
Ответ: $x \in [-4; -1] \cup [1; 4]$.

17.16 Решите графически уравнение:

а) $ |x| = -x^2$;

б) $ |x| = \sqrt{x}$;

в) $ |x| = x^2$;

г) $ |x| = -\sqrt{x}$.

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.

а) $|x| = -x^2$

Построим на одной координатной плоскости графики двух функций: $y = |x|$ и $y = -x^2$.

1. График функции $y = |x|$ — это биссектрисы первого и второго координатных углов. Он представляет собой "галочку" (или букву V) с вершиной в начале координат. Все значения функции $y = |x|$ неотрицательны, то есть $y \ge 0$.

2. График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат. Все значения функции $y = -x^2$ неположительны, то есть $y \le 0$.

Графики могут пересечься только в том случае, когда их значения $y$ равны. Условие $y \ge 0$ и $y \le 0$ одновременно выполняется только при $y=0$.

Значение $y=0$ достигается для обеих функций при $x=0$.

Следовательно, графики пересекаются в одной-единственной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x = 0$.

б) $|x| = \sqrt{x}$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = \sqrt{x}$.

1. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Значит, решения уравнения могут существовать только при неотрицательных значениях $x$.

2. При $x \ge 0$ уравнение $|x| = \sqrt{x}$ принимает вид $x = \sqrt{x}$. Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения графика функции $y = x$ (для $x \ge 0$) и графика функции $y = \sqrt{x}$.

3. График $y = x$ (при $x \ge 0$) — это луч, выходящий из начала координат под углом 45° к оси абсцисс.

4. График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$, лежащая в первой координатной четверти.

Найдём точки пересечения, решив уравнение $x = \sqrt{x}$. Возведём обе части в квадрат (это допустимо, так как $x \ge 0$):

$x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Графики пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: $x = 0, x = 1$.

в) $|x| = x^2$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в начале координат.

2. График функции $y = x^2$ — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

Обе функции являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси ординат. Мы можем найти решения для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить их для $x < 0$.

При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x = x^2$.

$x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.

Корни для $x \ge 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Поскольку графики симметричны, то для $x < 0$ также будет решение. Раскроем модуль для $x < 0$: $-x = x^2$.

$x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.

Корни: $x=0$ (не удовлетворяет $x<0$) и $x=-1$.

Таким образом, графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

г) $|x| = -\sqrt{x}$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = -\sqrt{x}$.

1. Область определения функции $y = -\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.

2. График функции $y = |x|$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

3. График функции $y = -\sqrt{x}$ лежит в нижней полуплоскости ($y \le 0$), так как значение корня $\sqrt{x}$ неотрицательно, а перед ним стоит знак минус.

Равенство $|x| = -\sqrt{x}$ возможно только в том случае, если обе части уравнения равны нулю, так как неотрицательная величина может быть равна неположительной только тогда, когда они обе нулевые.

$|x| = 0$ при $x=0$.

$-\sqrt{x} = 0$ при $x=0$.

Следовательно, графики пересекаются в одной-единственной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x = 0$.

17.17 Построив графики функций $y = |x|$ и $y = b$, решите неравенство:

а) $|x| > b$, если $b = 5$;

б) $|x| \le b$, если $b = 1;

в) $|x| < b$, если $b = 4;

г) $|x| \ge b$, если $b = 2$.

Для решения неравенств графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = b$.

График функции $y = |x|$ представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = b$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат (оси Oy).

Решение неравенства сводится к нахождению тех значений $x$, при которых график функции $y = |x|$ расположен выше (для знака $>$, $\ge$) или ниже (для знака <, $\le$) графика функции $y = b$.

а) $|x| > b$, если $b = 5$

Решаем неравенство $|x| > 5$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 5$. График $y = 5$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 5$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Точки пересечения — $(-5, 5)$ и $(5, 5)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится выше прямой $y = 5$. Из графика видно, что это выполняется для всех $x$, которые меньше $-5$ или больше $5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.

б) $|x| \le b$, если $b = 1$

Решаем неравенство $|x| \le 1$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 1$. График $y = 1$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 1$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Точки пересечения — $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится не выше (то есть ниже или на одном уровне) прямой $y = 1$. Это происходит на отрезке между точками пересечения, включая сами точки.
Ответ: $x \in [-1; 1]$.

в) $|x| < b$, если $b = 4$

Решаем неравенство $|x| < 4$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 4$. График $y = 4$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 4$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(-4, 4)$ и $(4, 4)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится строго ниже прямой $y = 4$. Это происходит на интервале между точками пересечения, не включая сами точки.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

г) $|x| \ge b$, если $b = 2$

Решаем неравенство $|x| \ge 2$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 2$. График $y = 2$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 2$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится не ниже (то есть выше или на одном уровне) прямой $y = 2$. Это происходит для всех $x$, которые меньше или равны $-2$, а также для всех $x$, которые больше или равны $2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

17.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 0; \\ x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$, $f(0)$, $f(5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Найдите f(-2), f(0), f(5).

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из двух условий удовлетворяет аргумент $x$.

1. Найдём $f(-2)$.
Аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = |x|$.
$f(-2) = |-2| = 2$.

2. Найдём $f(0)$.
Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(0) = 0^2 = 0$.

3. Найдём $f(5)$.
Аргумент $x = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(5) = 5^2 = 25$.

Ответ: $f(-2) = 2$, $f(0) = 0$, $f(5) = 25$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум промежуткам определения.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = |x|$. Поскольку для отрицательных значений $x$ верно равенство $|x| = -x$, на промежутке $(-\infty, 0)$ график совпадает с графиком функции $y = -x$. Это луч, являющийся биссектрисой II координатного угла. Он исходит из точки $(0, 0)$, при этом сама точка $(0,0)$ не принадлежит этому лучу.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2$. Это график стандартной параболы, но только её правая ветвь, расположенная в I координатной четверти. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и эта точка принадлежит данной части графика.

Объединив обе части, получаем итоговый график функции $y=f(x)$.

Ответ: График функции построен.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и ее графика перечислим основные свойства:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных чисел $x$.
• Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$, так как $|x| \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, поэтому значения функции всегда неотрицательны.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения. В точке "стыка" $x=0$ разрыва нет, поскольку предел слева $\lim_{x \to 0^-} |x| = 0$ равен пределу справа и значению функции в точке $\lim_{x \to 0^+} x^2 = f(0) = 0$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ только при $x = 0$. График пересекает ось абсцисс в начале координат.
• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Для проверки: $f(-2) = 2$ и $f(2) = 4$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не обладает свойством четности или нечетности.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x = 0$ функция достигает своего минимума. $x_{min} = 0$, $y_{min} = f(0) = 0$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

17.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } -3 \le x \le 3; \\ 6 - x, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3), f(3), f(4,5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а)

Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому участку области определения принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(-3)$.
Значение $x = -3$ принадлежит промежутку $-3 \le x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(-3) = |-3| = 3$.

2. Найдем $f(3)$.
Значение $x = 3$ принадлежит промежутку $-3 \le x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(3) = |3| = 3$.

3. Найдем $f(4,5)$.
Значение $x = 4,5$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 6 - x$.
$f(4,5) = 6 - 4,5 = 1,5$.

Ответ: $f(-3) = 3$; $f(3) = 3$; $f(4,5) = 1,5$.

б)

Для построения графика функции $y=f(x)$ рассмотрим два участка, на которых она задана.

1. На отрезке $[-3, 3]$ функция задана формулой $y = |x|$. Графиком является часть графика модуля, состоящая из двух отрезков, которые соединяют точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ключевые точки для этого участка: $f(-3)=3$, $f(0)=0$, $f(3)=3$.

2. На промежутке $(3, +\infty)$ функция задана формулой $y = 6 - x$. Графиком является луч.
Найдем начальную точку луча: при $x \to 3^+$, $y \to 6-3=3$. Таким образом, луч выходит из точки $(3, 3)$, которая также является конечной точкой предыдущего участка.
Найдем еще одну точку на луче, например, точку пересечения с осью Ox: $6-x=0 \implies x=6$. Точка $(6, 0)$.
Следовательно, эта часть графика — луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и проходящий через точку $(6, 0)$.

Объединив обе части, получаем искомый график.

Ответ: График функции состоит из двух отрезков, соединяющих последовательно точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$, и луча, выходящего из точки $(3, 3)$ и проходящего через точку $(6, 0)$.

в)

Основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения: $D(f) = [-3, +\infty)$.
2. Множество значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.
3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = 0$ и $x = 6$.
4. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 6)$;
   • $f(x) < 0$ при $x \in (6, +\infty)$.
6. Промежутки монотонности:
   • функция убывает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, +\infty)$;
   • функция возрастает на промежутке $[0, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • $x_{min} = 0$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(0) = 0$;
   • $x_{max} = -3$ и $x_{max} = 3$ — точки локального максимума, $y_{max} = f(-3) = f(3) = 3$.
8. Наибольшее и наименьшее значения:
   • $y_{наиб} = 3$;
   • наименьшее значение функции не существует.
9. Функция непрерывна на всей области определения.
10. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно начала координат).

Ответ: Свойства функции приведены в списке выше.

17.20 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 1; \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \geq 1. \end{cases}$

а) Найдите $f(4), f(-1), f(0)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из условий ($x < 1$ или $x \ge 1$) удовлетворяет аргумент $x$ и использовать соответствующую часть формулы.

1. Найдем $f(4)$.
Так как $4 \ge 1$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем $f(-1)$.
Так как $-1 < 1$, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(-1) = |-1| = 1$.

3. Найдем $f(0)$.
Так как $0 < 1$, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(0) = |0| = 0$.

Ответ: $f(4) = 2$, $f(-1) = 1$, $f(0) = 0$.

б) График функции $y = f(x)$ строится из двух частей, соответствующих двум промежуткам области определения.

1. На промежутке $(-\infty; 1)$ строим график функции $y = |x|$. График модуля представляет собой два луча, выходящих из начала координат.
• Для $x \in (-\infty; 0)$ это луч $y = -x$.
• Для $x \in [0; 1)$ это отрезок прямой $y = x$.
Ключевые точки: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$. В точке $x=1$ значение $y$ стремится к 1, поэтому на графике в точке $(1, 1)$ будет выколотая (пустая) точка, так как $x < 1$.

2. На промежутке $[1; +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, ось симметрии которой — ось Ox.
График начинается в точке $(1, \sqrt{1}) = (1, 1)$. Эта точка является частью графика (закрашенная), так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$).
Другие точки для построения: $(4, \sqrt{4}) = (4, 2)$, $(9, \sqrt{9}) = (9, 3)$.

3. Объединяем построенные части. Выколотая точка $(1, 1)$ от первой части графика "закрывается" закрашенной точкой $(1, 1)$ от второй части. В результате получается непрерывная линия.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из луча $y=-x$ на промежутке $(-\infty, 0]$, отрезка $y=x$ на промежутке $[0, 1]$ и ветви кривой $y=\sqrt{x}$ на промежутке $[1, +\infty)$. График имеет минимум в точке $(0,0)$.

в) Перечислим основные свойства функции $y=f(x)$ на основе ее формулы и графика.

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Функция принимает все неотрицательные значения. $E(f) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $|x|=0$, что дает $x=0$. На втором промежутке $\sqrt{x}=0$ также дает $x=0$, но $0 \notin [1; +\infty)$. Таким образом, единственный нуль функции — $x=0$.
• Четность и нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется для всех $x$. Например, $f(4) = 2$, а $f(-4) = |-4|=4$. $f(-4) \ne f(4)$ и $f(-4) \ne -f(4)$.
• Промежутки монотонности:
  • функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$;
  • функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы функции: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума.
  $x_{min} = 0$, $y_{min} = f(0) = 0$.
  Максимумов у функции нет.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как она составлена из непрерывных функций, и в точке "склейки" $x=1$ пределы слева и справа равны значению функции: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$.
• Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

Ответ: Свойства функции:
1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
2. $E(f) = [0; +\infty)$;
3. Нуль функции: $x=0$;
4. Функция общего вида;
5. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$;
6. $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$;
7. Непрерывна на $(-\infty; +\infty)$;
8. Ограничена снизу.

Решите уравнение:

17.21 а) $|x - \sqrt{3}| = 0;$

б) $|x + 7| = 0;$

в) $|x + \sqrt{5}| = 0;$

г) $|x - 6| = 0.$

а) Дано уравнение $|x - \sqrt{3}| = 0$.
Модуль (абсолютная величина) числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число (выражение под знаком модуля) равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно следующему:
$x - \sqrt{3} = 0$
Чтобы найти x, перенесем $-\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = \sqrt{3}$
Ответ: $\sqrt{3}$

б) Дано уравнение $|x + 7| = 0$.
По свойству модуля, если $|A| = 0$, то $A = 0$. Применяя это свойство к нашему уравнению, получаем:
$x + 7 = 0$
Чтобы найти x, вычтем 7 из обеих частей уравнения:
$x = -7$
Ответ: $-7$

в) Дано уравнение $|x + \sqrt{5}| = 0$.
Это уравнение эквивалентно уравнению, в котором выражение под знаком модуля равно нулю:
$x + \sqrt{5} = 0$
Переносим $\sqrt{5}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = -\sqrt{5}$
Ответ: $-\sqrt{5}$

г) Дано уравнение $|x - 6| = 0$.
Модуль выражения равен нулю только в том случае, когда само выражение равно нулю. Таким образом:
$x - 6 = 0$
Прибавим 6 к обеим частям уравнения, чтобы найти x:
$x = 6$
Ответ: $6$