Номер 17.18, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.18, страница 94.

Условие.

17.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 0; \\ x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$, $f(0)$, $f(5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-2), f(0), f(5).

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из двух условий удовлетворяет аргумент $x$.

1. Найдём $f(-2)$.
Аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = |x|$.
$f(-2) = |-2| = 2$.

2. Найдём $f(0)$.
Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(0) = 0^2 = 0$.

3. Найдём $f(5)$.
Аргумент $x = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(5) = 5^2 = 25$.

Ответ: $f(-2) = 2$, $f(0) = 0$, $f(5) = 25$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум промежуткам определения.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = |x|$. Поскольку для отрицательных значений $x$ верно равенство $|x| = -x$, на промежутке $(-\infty, 0)$ график совпадает с графиком функции $y = -x$. Это луч, являющийся биссектрисой II координатного угла. Он исходит из точки $(0, 0)$, при этом сама точка $(0,0)$ не принадлежит этому лучу.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2$. Это график стандартной параболы, но только её правая ветвь, расположенная в I координатной четверти. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и эта точка принадлежит данной части графика.

Объединив обе части, получаем итоговый график функции $y=f(x)$.

Ответ: График функции построен.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и ее графика перечислим основные свойства:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных чисел $x$.
• Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$, так как $|x| \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, поэтому значения функции всегда неотрицательны.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения. В точке "стыка" $x=0$ разрыва нет, поскольку предел слева $\lim_{x \to 0^-} |x| = 0$ равен пределу справа и значению функции в точке $\lim_{x \to 0^+} x^2 = f(0) = 0$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ только при $x = 0$. График пересекает ось абсцисс в начале координат.
• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Для проверки: $f(-2) = 2$ и $f(2) = 4$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не обладает свойством четности или нечетности.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x = 0$ функция достигает своего минимума. $x_{min} = 0$, $y_{min} = f(0) = 0$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.