Номер 17.17, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.17, страница 94.

Условие.

17.17 Построив графики функций $y = |x|$ и $y = b$, решите неравенство:

а) $|x| > b$, если $b = 5$;

б) $|x| \le b$, если $b = 1;

в) $|x| < b$, если $b = 4;

г) $|x| \ge b$, если $b = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения неравенств графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = b$.

График функции $y = |x|$ представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = b$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат (оси Oy).

Решение неравенства сводится к нахождению тех значений $x$, при которых график функции $y = |x|$ расположен выше (для знака $>$, $\ge$) или ниже (для знака <, $\le$) графика функции $y = b$.

а) $|x| > b$, если $b = 5$

Решаем неравенство $|x| > 5$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 5$. График $y = 5$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 5$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Точки пересечения — $(-5, 5)$ и $(5, 5)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится выше прямой $y = 5$. Из графика видно, что это выполняется для всех $x$, которые меньше $-5$ или больше $5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.

б) $|x| \le b$, если $b = 1$

Решаем неравенство $|x| \le 1$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 1$. График $y = 1$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 1$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Точки пересечения — $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится не выше (то есть ниже или на одном уровне) прямой $y = 1$. Это происходит на отрезке между точками пересечения, включая сами точки.
Ответ: $x \in [-1; 1]$.

в) $|x| < b$, если $b = 4$

Решаем неравенство $|x| < 4$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 4$. График $y = 4$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 4$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(-4, 4)$ и $(4, 4)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится строго ниже прямой $y = 4$. Это происходит на интервале между точками пересечения, не включая сами точки.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

г) $|x| \ge b$, если $b = 2$

Решаем неравенство $|x| \ge 2$. Построим графики функций $y = |x|$ и $y = 2$. График $y = 2$ — это горизонтальная прямая. Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x| = 2$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится не ниже (то есть выше или на одном уровне) прямой $y = 2$. Это происходит для всех $x$, которые меньше или равны $-2$, а также для всех $x$, которые больше или равны $2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.