Номер 17.16, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.16, страница 94.

Условие.

17.16 Решите графически уравнение:

а) $ |x| = -x^2$;

б) $ |x| = \sqrt{x}$;

в) $ |x| = x^2$;

г) $ |x| = -\sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.

а) $|x| = -x^2$

Построим на одной координатной плоскости графики двух функций: $y = |x|$ и $y = -x^2$.

1. График функции $y = |x|$ — это биссектрисы первого и второго координатных углов. Он представляет собой "галочку" (или букву V) с вершиной в начале координат. Все значения функции $y = |x|$ неотрицательны, то есть $y \ge 0$.

2. График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат. Все значения функции $y = -x^2$ неположительны, то есть $y \le 0$.

Графики могут пересечься только в том случае, когда их значения $y$ равны. Условие $y \ge 0$ и $y \le 0$ одновременно выполняется только при $y=0$.

Значение $y=0$ достигается для обеих функций при $x=0$.

Следовательно, графики пересекаются в одной-единственной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x = 0$.

б) $|x| = \sqrt{x}$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = \sqrt{x}$.

1. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Значит, решения уравнения могут существовать только при неотрицательных значениях $x$.

2. При $x \ge 0$ уравнение $|x| = \sqrt{x}$ принимает вид $x = \sqrt{x}$. Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения графика функции $y = x$ (для $x \ge 0$) и графика функции $y = \sqrt{x}$.

3. График $y = x$ (при $x \ge 0$) — это луч, выходящий из начала координат под углом 45° к оси абсцисс.

4. График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$, лежащая в первой координатной четверти.

Найдём точки пересечения, решив уравнение $x = \sqrt{x}$. Возведём обе части в квадрат (это допустимо, так как $x \ge 0$):

$x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Графики пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: $x = 0, x = 1$.

в) $|x| = x^2$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в начале координат.

2. График функции $y = x^2$ — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

Обе функции являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси ординат. Мы можем найти решения для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить их для $x < 0$.

При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x = x^2$.

$x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.

Корни для $x \ge 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Поскольку графики симметричны, то для $x < 0$ также будет решение. Раскроем модуль для $x < 0$: $-x = x^2$.

$x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.

Корни: $x=0$ (не удовлетворяет $x<0$) и $x=-1$.

Таким образом, графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

г) $|x| = -\sqrt{x}$

Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$ и $y = -\sqrt{x}$.

1. Область определения функции $y = -\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.

2. График функции $y = |x|$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

3. График функции $y = -\sqrt{x}$ лежит в нижней полуплоскости ($y \le 0$), так как значение корня $\sqrt{x}$ неотрицательно, а перед ним стоит знак минус.

Равенство $|x| = -\sqrt{x}$ возможно только в том случае, если обе части уравнения равны нулю, так как неотрицательная величина может быть равна неположительной только тогда, когда они обе нулевые.

$|x| = 0$ при $x=0$.

$-\sqrt{x} = 0$ при $x=0$.

Следовательно, графики пересекаются в одной-единственной точке — начале координат (0, 0).

Ответ: $x = 0$.