Номер 17.15, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.15, страница 94.

Условие.

17.15 Постройте график функции $y = -|x|$. С помощью графика определите:

а) при каких значениях $x \ y = -4;$

б) при каких значениях $x \ y > -4, \ y < -4;$

в) при каких значениях $y \ x > 4;$

г) при каких значениях $x$ выполняется условие $-4 \le y \le -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = -|x|$.

По определению модуля, функция $y = -|x|$ может быть записана в виде кусочно-линейной функции:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
то есть
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат (точки $(0, 0)$):

• Луч $y = -x$ для $x \ge 0$ (биссектриса второго и четвертого координатных углов, но мы берем только часть в четвертом квадранте).
• Луч $y = x$ для $x < 0$ (биссектриса первого и третьего координатных углов, но мы берем только часть в третьем квадранте).

График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$) и представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

x	-4	-2	-1	0	1	2	4
y = -|x|	-4	-2	-1	0	-1	-2	-4

(Предполагается, что на основе этих данных построен график).
Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) при каких значениях x y = -4;
Чтобы найти значения $x$, при которых $y = -4$, нужно найти точки пересечения графика функции $y = -|x|$ с горизонтальной прямой $y = -4$. Из графика (и таблицы значений) видно, что таких точек две. Их координаты $(-4, -4)$ и $(4, -4)$. Следовательно, искомые значения $x$ — это абсциссы этих точек.
Ответ: $x = -4$ и $x = 4$.

б) при каких значениях x y > -4, y < -4;
Этот пункт содержит два условия.
1. Найдем значения $x$, при которых $y > -4$. На графике это соответствует тем участкам, где он расположен выше прямой $y = -4$. Это происходит между точками пересечения, то есть при $x$, находящихся в интервале от $-4$ до $4$.
2. Найдем значения $x$, при которых $y < -4$. На графике это соответствует тем участкам, где он расположен ниже прямой $y = -4$. Это происходит левее точки $x = -4$ и правее точки $x = 4$.
Ответ: $y > -4$ при $x \in (-4; 4)$; $y < -4$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

в) при каких значениях y x > 4;
В этом пункте нужно найти, какие значения принимает $y$, если $x > 4$. На графике мы рассматриваем ту часть луча, которая находится правее вертикальной линии $x = 4$. Для $x > 0$ функция имеет вид $y = -x$. Если $x > 4$, то, умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $-x < -4$. Поскольку $y = -x$, то $y < -4$.
Ответ: $y < -4$.

г) при каких значениях x выполняется условие $-4 \le y \le -1$.
Нам нужно найти значения $x$, для которых график функции $y = -|x|$ находится между горизонтальными линиями $y = -4$ и $y = -1$, включая сами эти линии.
Сначала найдем, при каких $x$ достигаются граничные значения $y$:

• $y = -1 \implies -|x| = -1 \implies |x| = 1 \implies x = -1$ или $x = 1$.
• $y = -4 \implies -|x| = -4 \implies |x| = 4 \implies x = -4$ или $x = 4$.

Из графика видно, что условию $-4 \le y \le -1$ удовлетворяют два отдельных участка.
Для $x \ge 0$, условие $-4 \le -x \le -1$ эквивалентно $1 \le x \le 4$.
Для $x < 0$, условие $-4 \le x \le -1$ уже дает нам искомый интервал.
Таким образом, искомые значения $x$ принадлежат двум отрезкам.
Ответ: $x \in [-4; -1] \cup [1; 4]$.