Номер 17.13, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.13, страница 93.

Условие.

17.13 Постройте графики функций $y = |x|$ и $y = 3$.

а) Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций.

б) Обведите ту часть графика функции $y = |x|$, которая находится ниже прямой $y = 3$.

в) Определите, при каких значениях $x$, для функции $y = |x|$ выполняется условие $y < 3$.

г) При каких значениях $x$ выполняется условие $|x| > 3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи построим графики функций $y = |x|$ и $y = 3$ в одной системе координат.
1. График функции $y = |x|$ — это объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График симметричен относительно оси ординат ($Oy$) и имеет вершину в начале координат $(0, 0)$.
2. График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, 3)$.

а) Абсциссы точек пересечения графиков находим, решив уравнение, полученное приравниванием функций:
$|x| = 3$.
Данное уравнение имеет два корня, так как модуль числа равен 3, если само число равно 3 или -3.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 3.

б) Часть графика функции $y = |x|$, которая находится ниже прямой $y = 3$, расположена между точками их пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 3. Таким образом, искомая часть графика — это V-образный сегмент, соединяющий точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ответ: Часть графика $y=|x|$, где $x$ изменяется от -3 до 3.

в) Для функции $y = |x|$ условие $y < 3$ эквивалентно неравенству $|x| < 3$.
Решением этого неравенства является двойное неравенство:
$-3 < x < 3$.
Геометрически это интервал по оси $x$, для которого точки графика $y = |x|$ лежат ниже прямой $y = 3$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

г) Условие $|x| > 3$ означает, что нужно решить одноименное неравенство.
Неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 3$ или $x < -3$.
Геометрически это соответствует двум лучам на оси $x$, для которых ветви графика $y = |x|$ лежат выше прямой $y = 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.