Номер 17.9, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.9, страница 93.

Условие.

17.9 Постройте график функции $y = |x|$. С помощью графика най- дите:

а) значения $y$ при $x = 5; 0; -2,5;$

б) значения $x$, если $y = 7; 3; 1;$

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-4; -1];$

г) значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи построим график функции $y = |x|$.

По определению модуля числа:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$

Таким образом, график функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

• График функции $y = x$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой I координатного угла.
• График функции $y = -x$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой II координатного угла.

Вместе эти два луча образуют фигуру в виде "галочки" или буквы "V" с вершиной в начале координат.

Теперь, используя этот график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 5; 0; -2,5

Чтобы найти значение $y$ по известному $x$, нужно найти на оси абсцисс ($Ox$) заданное значение $x$, подняться или опуститься до пересечения с графиком функции, а затем от этой точки провести перпендикуляр к оси ординат ($Oy$) и определить соответствующее значение $y$.

• При $x = 5$: Находим на графике точку с абсциссой 5. Это точка на луче $y=x$. Ордината этой точки равна $y = |5| = 5$.
• При $x = 0$: Находим на графике точку с абсциссой 0. Это вершина графика, точка $(0,0)$. Ордината равна $y = |0| = 0$.
• При $x = -2,5$: Находим на графике точку с абсциссой -2,5. Это точка на луче $y=-x$. Ордината этой точки равна $y = |-2,5| = 2,5$.

Ответ: при $x = 5$, $y = 5$; при $x = 0$, $y = 0$; при $x = -2,5$, $y = 2,5$.

б) значения x, если y = 7; 3; 1

Чтобы найти значения $x$ по известному $y$, нужно найти на оси ординат ($Oy$) заданное значение $y$, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции, а затем из точек пересечения опустить перпендикуляры на ось абсцисс ($Ox$) и определить соответствующие значения $x$.

• Если $y = 7$: Горизонтальная прямая $y=7$ пересекает график в двух точках. Для первой точки $x = 7$, для второй $x = -7$.
• Если $y = 3$: Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках. Для них $x = 3$ и $x = -3$.
• Если $y = 1$: Горизонтальная прямая $y=1$ пересекает график в двух точках. Для них $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: если $y=7$, то $x = 7$ или $x = -7$; если $y=3$, то $x = 3$ или $x = -3$; если $y=1$, то $x = 1$ или $x = -1$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-4; -1]

Рассмотрим часть графика функции, соответствующую отрезку $x \in [-4; -1]$. На этом отрезке функция имеет вид $y = -x$. Эта линейная функция является убывающей.
Следовательно, своего наибольшего значения на отрезке она достигает в левом конце отрезка, а наименьшего — в правом.

• Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = |-4| = 4$.
• Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = |-1| = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-4; -1]$ равно 1, наибольшее значение равно 4.

г) значения x, при которых функция убывает, возрастает

По графику видно, что:

• При движении по графику слева направо на промежутке от $-\infty$ до $0$ график "спускается вниз", то есть значения $y$ уменьшаются. Это означает, что функция убывает.
• В точке $x=0$ происходит смена убывания на возрастание. Это точка минимума.
• При движении по графику слева направо на промежутке от $0$ до $+\infty$ график "поднимается вверх", то есть значения $y$ увеличиваются. Это означает, что функция возрастает.

Ответ: функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$; функция возрастает при $x \in [0, +\infty)$.