Номер 17.14, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.14, страница 93.

Условие.

17.14 Постройте график функции $y = |x|$. По графику найдите:

а) при каких значениях $x$ $y = 2$;

б) при каких значениях $x$ $y > 2$, $y < 2$;

в) при каких значениях $x$ $2 < y < 5$;

г) при каких значениях $y$ $x < -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x|$ раскроем модуль. По определению, модуль числа $x$ равен:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, график функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

• При $x \ge 0$ (в правой полуплоскости, включая ось $Oy$), график совпадает с графиком функции $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла.
• При $x < 0$ (в левой полуплоскости), график совпадает с графиком функции $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла.

Совместив эти две части, получим график функции $y = |x|$, который представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат (0, 0).

Построим график функции $y = |x|$ и вспомогательные прямые $y=2$, $y=5$ и $y=-2$ для решения последующих задач.

а) при каких значениях x y = 2;

Чтобы найти значения $x$, при которых $y = 2$, нужно найти точки пересечения графика функции $y = |x|$ с горизонтальной прямой $y = 2$. На графике видно, что прямая $y = 2$ (показана красным пунктиром) пересекает график $y = |x|$ в двух точках. Найдем их координаты:

1. Для ветви $y = x$ (при $x \ge 0$): $x = 2$. Координаты точки: (2, 2).

2. Для ветви $y = -x$ (при $x < 0$): $-x = 2$, откуда $x = -2$. Координаты точки: (-2, 2).

Следовательно, $y = 2$ при $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

б) при каких значениях x y > 2, y < 2;

Рассмотрим два неравенства по отдельности.

1. При каких значениях $x$ выполняется $y > 2$:

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых точки графика $y = |x|$ лежат выше прямой $y = 2$. Из графика видно, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x = -2$ и правее точки $x = 2$.

Алгебраически: $|x| > 2$ равносильно совокупности $x > 2$ или $x < -2$.

Ответ: при $y > 2$, $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2. При каких значениях $x$ выполняется $y < 2$:

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых точки графика $y = |x|$ лежат ниже прямой $y = 2$. Из графика видно, что это происходит на интервале между точками $x = -2$ и $x = 2$. При этом, так как $|x| \ge 0$, то значения $y$ находятся в промежутке $0 \le y < 2$.

Алгебраически: $|x| < 2$ равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

Ответ: при $y < 2$, $x \in (-2; 2)$.

в) при каких значениях x 2 < y < 5;

Нам нужно найти значения $x$, для которых значения $y$ лежат строго между 2 и 5. Это соответствует частям графика $y = |x|$, которые находятся между горизонтальными прямыми $y = 2$ (красный пунктир) и $y = 5$ (зеленый пунктир).

Сначала найдем точки пересечения графика с прямой $y=5$: $|x|=5$, что дает $x=5$ и $x=-5$.

Из графика видно, что условию $2 < y < 5$ удовлетворяют два интервала для $x$:

1. На левой ветви ($y=-x$): $-5 < x < -2$.

2. На правой ветви ($y=x$): $2 < x < 5$.

Объединяя эти два интервала, получаем искомое множество значений $x$.

Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (2; 5)$.

г) при каких значениях x y < -2.

Нужно найти значения $x$, при которых $y < -2$, то есть $|x| < -2$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Неравенство $|x| < -2$ означает, что неотрицательное число должно быть меньше отрицательного числа -2, что невозможно.

На графике это можно увидеть так: прямая $y=-2$ (показана фиолетовым пунктиром) расположена полностью ниже графика $y = |x|$, и у них нет ни одной общей точки, а весь график $y=|x|$ лежит выше этой прямой.

Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых $y < -2$.

Ответ: решений нет.