Номер 17.10, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.10, страница 93.

Условие.

17.10 Постройте график функции $y = -|x|$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -6; -1; 4;$

б) значения $x$, если $y = -8; -6; 0;$

в) какому промежутку принадлежит переменная $y$, если $x \in [-1; 4];$

г) значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -|x|$ необходимо раскрыть модуль. Функция $y = -|x|$ может быть записана как система:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
что упрощается до:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0):
1. Луч $y = x$ для отрицательных значений $x$ (расположен в III координатной четверти).
2. Луч $y = -x$ для неотрицательных значений $x$ (расположен в IV координатной четверти).

График представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке (0, 0). Все значения функции, кроме $y=0$, являются отрицательными.

а) Найдем значения $y$ при заданных значениях $x$ с помощью формулы $y=-|x|$.

Если $x = -6$, то $y = -|-6| = -6$.

Если $x = -1$, то $y = -|-1| = -1$.

Если $x = 4$, то $y = -|4| = -4$.

На графике этим значениям соответствуют точки (-6, -6), (-1, -1) и (4, -4).

Ответ: при $x=-6$, $y=-6$; при $x=-1$, $y=-1$; при $x=4$, $y=-4$.

б) Найдем значения $x$, если известны значения $y$. Для этого решим уравнение $y = -|x|$ относительно $x$, что равносильно уравнению $|x| = -y$.

Если $y = -8$, то $|x| = -(-8) = 8$. Отсюда $x=8$ или $x=-8$.

Если $y = -6$, то $|x| = -(-6) = 6$. Отсюда $x=6$ или $x=-6$.

Если $y = 0$, то $|x| = 0$. Отсюда $x=0$.

На графике это означает найти точки с заданной ординатой. Например, прямая $y=-8$ пересекает график функции в двух точках: (-8, -8) и (8, -8).

Ответ: если $y=-8$, то $x = \pm 8$; если $y=-6$, то $x = \pm 6$; если $y=0$, то $x=0$.

в) Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $y$, если $x \in [-1; 4]$.

Для нахождения множества значений $y$ на отрезке $x \in [-1; 4]$, нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
1. Найдем значения на концах отрезка:
$y(-1) = -|-1| = -1$.
$y(4) = -|4| = -4$.
2. Вершина графика $y = -|x|$ находится в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку $[-1; 4]$. В этой точке функция достигает своего глобального максимума: $y(0) = -|0| = 0$.
3. Сравниваем полученные значения: $y_{max} = 0$, $y_{min} = -4$.
Следовательно, на отрезке $x \in [-1; 4]$ переменная $y$ принимает все значения от -4 до 0 включительно.

Ответ: $y \in [-4; 0]$.

г) Найдем значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Анализируя график функции $y=-|x|$, мы видим, что:
1. При движении по оси $x$ слева направо до точки $x=0$, график "поднимается". Это означает, что функция возрастает. Это происходит на промежутке $(-\infty; 0]$.
2. При движении по оси $x$ слева направо от точки $x=0$, график "опускается". Это означает, что функция убывает. Это происходит на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.