Номер 17.3, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.3, страница 92.

Условие.

17.3 a) $\left| \sqrt{2} - 1 \right|$;

б) $\left| \sqrt{3} - 5 \right|$;

в) $\left| \sqrt{8} - 4 \right|$;

г) $\left| \sqrt{5} - 2 \right|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $|\sqrt{2} - 1|$

По определению, модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x$ неотрицательно ($x \ge 0$), и равен противоположному числу $-x$, если $x$ отрицательно ($x < 0$). Чтобы раскрыть модуль в данном выражении, нам нужно определить знак подмодульного выражения $\sqrt{2} - 1$. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $1$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $1^2 = 1$. Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{2} - 1$ является положительным числом. Значит, модуль этого выражения равен самому выражению.

$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

б) $|\sqrt{3} - 5|$

Определим знак выражения $\sqrt{3} - 5$, стоящего под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $5$. Для этого возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $5^2 = 25$. Так как $3 < 25$, то $\sqrt{3} < 5$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 5$ является отрицательным числом. По определению модуля для отрицательного числа, мы должны взять противоположное ему выражение:

$|\sqrt{3} - 5| = -(\sqrt{3} - 5) = -\sqrt{3} + 5 = 5 - \sqrt{3}$.

Ответ: $5 - \sqrt{3}$.

в) $|\sqrt{8} - 4|$

Определим знак выражения $\sqrt{8} - 4$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{8}$ и $4$: $(\sqrt{8})^2 = 8$ и $4^2 = 16$. Так как $8 < 16$, то $\sqrt{8} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{8} - 4$ отрицательна. Раскрывая модуль, меняем знак выражения на противоположный:

$|\sqrt{8} - 4| = -(\sqrt{8} - 4) = 4 - \sqrt{8}$.

Для упрощения ответа вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, окончательный ответ: $4 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$.

г) $|\sqrt{5} - 2|$

Определим знак выражения $\sqrt{5} - 2$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{5}$ и $2$: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 2$ положительна. Для неотрицательного числа модуль равен самому числу:

$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.

Ответ: $\sqrt{5} - 2$.