Номер 16.95, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.95, страница 91.

Условие.

Упростите выражение:

16.95 a) $\frac{\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}}{\frac{x^2 + 2}{x^2 + x\sqrt{2}}}$;

б) $\frac{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}}{\frac{a^2 + ab}{a - b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения данного выражения, которое представляет собой четырехэтажную дробь, мы последовательно упростим числитель и знаменатель, а затем выполним деление.

1. Упростим числитель основной дроби: $ \frac{x}{x-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} $. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^2-2$.

$ \frac{x(x+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(x-\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} = \frac{x^2 + x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2 - 2} = \frac{x^2+2}{x^2-2} $

2. Теперь у нас есть выражение: $ \frac{\frac{x^2+2}{x^2-2}}{\frac{x^2+2}{x^2+x\sqrt{2}}} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{x^2+2}{x^2-2} \cdot \frac{x^2+x\sqrt{2}}{x^2+2} $

3. Сократим общий множитель $(x^2+2)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{x^2+x\sqrt{2}}{x^2-2} $

4. Для возможного дальнейшего сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ x^2+x\sqrt{2} = x(x+\sqrt{2}) $.

Знаменатель (по формуле разности квадратов): $ x^2-2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) $.

5. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение.

$ \frac{x(x+\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} = \frac{x}{x-\sqrt{2}} $

Ответ: $ \frac{x}{x-\sqrt{2}} $

б)

Упростим данное выражение по аналогии с предыдущим заданием, начав с числителя основной дроби.

1. Упростим числитель: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $. Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$.

$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $

2. Теперь исходное выражение имеет вид: $ \frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{a^2+ab}{a-b}} $. Выполним деление, умножив на перевернутую вторую дробь.

$ \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2+ab} $

3. Сократим общий множитель $(a-b)$.

$ \frac{a+b}{a^2+ab} $

4. Разложим знаменатель на множители и снова сократим.

Знаменатель: $ a^2+ab = a(a+b) $.

$ \frac{a+b}{a(a+b)} = \frac{1}{a} $

Ответ: $ \frac{1}{a} $