Номер 16.92, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.92, страница 90.

Условие.

16.92 a) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}})^{-1};$

б) $(\sqrt{c} - \sqrt{d} + \frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}})^{-1} \cdot (\frac{\sqrt{c} + \sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в первых скобках.

1) Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a-\sqrt{ab} + \sqrt{ab}+b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$

2) Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+2\sqrt{ab}+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

3) Подставим полученные выражения в исходное. Учтем, что степень -1 означает обратную дробь.

$\left(\frac{a+b}{a-b}\right) \cdot \left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^{-1} = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b}$

Сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в первых скобках.

1) Приведем к общему знаменателю и сложим:

$\sqrt{c}-\sqrt{d}+\frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}-\sqrt{d}) + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{d})^2 + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{c-2\sqrt{cd}+d + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}$

2) Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}-\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{d}) - \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{c+\sqrt{cd} - \sqrt{cd}+d}{c-\sqrt{cd}} = \frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}$

3) Подставим полученные выражения в исходное. Учтем, что степень -1 означает обратную дробь.

$\left(\frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}\right) = \frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c+d} \cdot \frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}$

Сократим общий множитель $(c+d)$:

$\frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c-\sqrt{cd}}$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{c}$:

$\frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{1}{\sqrt{c}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{c}}$