Номер 16.85, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.85, страница 89.

Условие.

Докажите, что верно равенство:

16.85 а)

$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2};$

б) $\sqrt{23 - 4\sqrt{15}} = 2\sqrt{5} - \sqrt{3};$

в) $2 - \sqrt{3} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}};$

г) $\sqrt{5 + 3\sqrt{2}} = \sqrt{23 + 6\sqrt{10}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$, необходимо убедиться, что обе части равенства неотрицательны, а затем возвести одну из частей в квадрат.

Правая часть $1 + \sqrt{2}$ является положительным числом. Левая часть $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ также является положительной по определению арифметического квадратного корня. Поскольку обе части положительны, равенство будет верным, если квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части.

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Результат совпал с выражением под корнем в левой части. Таким образом, мы показали, что $(1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$. Следовательно, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$, так как $1 + \sqrt{2} > 0$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt{23 - 4\sqrt{15}} = 2\sqrt{5} - \sqrt{3}$, проверим, что обе части неотрицательны, и возведем правую часть в квадрат.

Для правой части: $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Поскольку $\sqrt{20} > \sqrt{3}$, разность $2\sqrt{5} - \sqrt{3}$ положительна. Левая часть, как арифметический корень, также неотрицательна (подкоренное выражение $23 - 4\sqrt{15} = 23 - \sqrt{240} > 0$, так как $23^2 = 529 > 240$).

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 5) - 4\sqrt{15} + 3 = 20 - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15}$.

Полученное выражение равно подкоренному выражению в левой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

в) Чтобы доказать равенство $2 - \sqrt{3} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, проверим, что обе части неотрицательны, и возведем левую часть в квадрат.

Левая часть: $2 = \sqrt{4}$. Так как $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Правая часть $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ также положительна, так как $7 = \sqrt{49}$ и $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, поэтому $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Возведем в квадрат левую часть равенства:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Полученное выражение равно подкоренному выражению в правой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

г) Чтобы доказать равенство $\sqrt{5} + 3\sqrt{2} = \sqrt{23 + 6\sqrt{10}}$, возведем в квадрат левую часть, так как обе части равенства очевидно положительны.

Возводим левую часть в квадрат по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2$.

Выполним вычисления:

$5 + 6\sqrt{10} + (9 \cdot 2) = 5 + 6\sqrt{10} + 18 = 23 + 6\sqrt{10}$.

Результат возведения в квадрат левой части равен подкоренному выражению в правой части. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.