Номер 16.82, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.82, страница 89.

Условие.

16.82 а) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2$;

б) $(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2$;

в) $(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2$;

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата трехчлена: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{2}$ и $c = 1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1$

Выполняем вычисления:

$= 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены с корнями:

$= 6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

Ответ: $6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$.

б) $(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2$

Используем ту же формулу $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{5}$, $b = -\sqrt{2}$ и $c = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 2(\sqrt{5})(-\sqrt{2}) + 2(\sqrt{5})(-1) + 2(-\sqrt{2})(-1)$

Выполняем вычисления:

$= 5 + 2 + 1 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены:

$= 8 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}$

Ответ: $8 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}$.

в) $(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата трехчлена $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{6}$, $b = \sqrt{2}$ и $c = -1$.

Подставляем значения:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 2(\sqrt{6})(\sqrt{2}) + 2(\sqrt{6})(-1) + 2(\sqrt{2})(-1)$

Выполняем вычисления:

$= 6 + 2 + 1 + 2\sqrt{12} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$

Упрощаем корень $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ и складываем числа:

$= 9 + 2(2\sqrt{3}) - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$

Упорядочиваем члены:

$= 9 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

Ответ: $9 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$.

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2$

Применим формулу квадрата трехчлена $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{3}$, $b = -\sqrt{2}$ и $c = 5$.

Подставляем значения:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(\sqrt{3})(-\sqrt{2}) + 2(\sqrt{3})(5) + 2(-\sqrt{2})(5)$

Выполняем вычисления:

$= 3 + 2 + 25 - 2\sqrt{6} + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены:

$= 30 - 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

Ответ: $30 - 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$.