Номер 16.76, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.76, страница 88.

Условие.

Упростите выражение:

16.76 а) $\frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{x} - 9}$;

б) $\frac{\sqrt{a} + a}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{3 + 3\sqrt{a}}>;

в) $\frac{\sqrt{rx + r}}{x} : \frac{\sqrt{x} + \sqrt{r}}{\sqrt{x}}$;

г) $\frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} : \frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n} - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{x} - 9} = \frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} \cdot \frac{3\sqrt{x} - 9}{\sqrt{a}}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)$
$3\sqrt{x} - 9 = 3(\sqrt{x} - 3)$
Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \cdot \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{a}}$
Сократим одинаковые множители $\sqrt{a}$ и $(\sqrt{x} - 3)$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{3}{\sqrt{x}}$

б) Разложим на множители числитель первой дроби, знаменатель второй дроби и числитель второй дроби:
$\sqrt{a} + a = \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$
$n = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n}$
$3 + 3\sqrt{a} = 3(1 + \sqrt{a})$
Подставим разложенные выражения в исходный пример:
$\frac{\sqrt{a} + a}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{3 + 3\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(\sqrt{n})^2}{3(1 + \sqrt{a})}$
Сократим одинаковые множители $(1 + \sqrt{a})$ и $\sqrt{n}$:
$\frac{\sqrt{a}}{1} \cdot \frac{\sqrt{n}}{3} = \frac{\sqrt{an}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{an}}{3}$

в) В числителе первой дроби, вероятно, опечатка, и выражение должно иметь вид $\sqrt{rx} + r$, так как в таком виде оно легко упрощается. Решим задачу с этим предположением.
$\frac{\sqrt{rx} + r}{x} : \frac{\sqrt{x} + \sqrt{r}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{rx} + r}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{r}}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{r}$ в числителе первой дроби:
$\sqrt{rx} + r = \sqrt{r}\sqrt{x} + (\sqrt{r})^2 = \sqrt{r}(\sqrt{x} + \sqrt{r})$
Подставим в выражение:
$\frac{\sqrt{r}(\sqrt{x} + \sqrt{r})}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{r}}$
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{x} + \sqrt{r})$:
$\frac{\sqrt{r}}{x} \cdot \sqrt{x} = \frac{\sqrt{r}\sqrt{x}}{x}$
Так как $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, можем сократить $\sqrt{x}$:
$\frac{\sqrt{r}\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{x}}$

г) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} : \frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n} - 2} = \frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} \cdot \frac{2\sqrt{n} - 2}{3\sqrt{an}}$
Разложим на множители выражения в дробях:
$n - \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n} - 1)$
$2\sqrt{n} - 2 = 2(\sqrt{n} - 1)$
$\sqrt{an} = \sqrt{a}\sqrt{n}$
Подставим в пример:
$\frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - 1)} \cdot \frac{2(\sqrt{n} - 1)}{3\sqrt{a}\sqrt{n}}$
Сократим общие множители $\sqrt{n}$ и $(\sqrt{n} - 1)$:
$\frac{6}{(\sqrt{n} - 1)} \cdot \frac{2(\sqrt{n} - 1)}{3\sqrt{a}\sqrt{n}} = \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3\sqrt{a}\sqrt{n}} = \frac{12}{3\sqrt{an}}$
Упростим полученную дробь:
$\frac{12}{3\sqrt{an}} = \frac{4}{\sqrt{an}}$
Ответ: $\frac{4}{\sqrt{an}}$