Номер 16.72, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.72, страница 87.

Условие.

16.72 a) $\frac{4}{\sqrt{a} - 5} + \frac{1}{\sqrt{a}}$;

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$;

в) $\frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 3}{\sqrt{b}}$;

г) $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{4}{\sqrt{a}-5} + \frac{1}{\sqrt{a}}$

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{a}$, а второй дроби — на $(\sqrt{a}-5)$:

$\frac{4 \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5) \cdot \sqrt{a}} + \frac{1 \cdot (\sqrt{a}-5)}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a}-5)} = \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)} + \frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4\sqrt{a} + \sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Можно вынести общий множитель 5 в числителе и раскрыть скобки в знаменателе для окончательного вида:

$\frac{5(\sqrt{a}-1)}{a-5\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{5(\sqrt{a}-1)}{a-5\sqrt{a}}$

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$. Для этого домножим первую дробь на $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, а вторую — на $\sqrt{y}$:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{y}}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Упростим числитель, сократив $\sqrt{xy}$ и $-\sqrt{xy}$:

$\frac{x}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{x}{\sqrt{xy}+y}$

Ответ: $\frac{x}{y+\sqrt{xy}}$

в) $\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-2} - \frac{\sqrt{b}+3}{\sqrt{b}}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(\sqrt{b}+1)\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-2)\sqrt{b}} - \frac{(\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Запишем разность числителей под общим знаменателем:

$\frac{(\sqrt{b}+1)\sqrt{b} - (\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем скобки в числителе. Для первого произведения: $(\sqrt{b}+1)\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2 + \sqrt{b} = b + \sqrt{b}$. Для второго произведения: $(\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2) = (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{b} + 3\sqrt{b} - 6 = b + \sqrt{b} - 6$.

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(b+\sqrt{b}) - (b+\sqrt{b}-6)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем вторые скобки в числителе, изменив знаки:

$\frac{b+\sqrt{b}-b-\sqrt{b}+6}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Сократим подобные члены в числителе:

$\frac{6}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{6}{b-2\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{6}{b-2\sqrt{b}}$

г) $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$

Находим общий знаменатель, который равен $\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})$. Домножаем первую дробь на $\sqrt{c}$, а вторую — на $(\sqrt{c}-\sqrt{d})$:

$\frac{\sqrt{d}\sqrt{c}}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})\sqrt{c}} - \frac{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Выполняем вычитание:

$\frac{\sqrt{d}\sqrt{c} - \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{cd} - (\sqrt{cd} - (\sqrt{d})^2)}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{\sqrt{cd} - \sqrt{cd} + d}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Упрощаем числитель:

$\frac{d}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Раскрываем скобки в знаменателе:

$\frac{d}{c-\sqrt{cd}}$

Ответ: $\frac{d}{c-\sqrt{cd}}$