Номер 16.65, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.65, страница 86.

Условие.

16.65 а) $\frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$;

б) $\frac{x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y}{3\sqrt{y} - x}$;

в) $\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{r - 2\sqrt{rs} + s}$;

г) $\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{3a + 5b + \sqrt{60ab}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$, заметим, что числитель $x + 2\sqrt{xy} + y$ является полным квадратом суммы. Используем формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$, а $2ab = 2\sqrt{x}\sqrt{y} = 2\sqrt{xy}$.

Следовательно, числитель можно представить в виде $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, что следует из области определения выражения).

В результате получаем: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

б)

Упростим выражение $\frac{x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y}{3\sqrt{y} - x}$.

Числитель $x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = x$ и $b = 3\sqrt{y}$. Тогда $a^2 = x^2$, $b^2 = (3\sqrt{y})^2 = 9y$, а $2ab = 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{y} = 6x\sqrt{y}$.

Таким образом, числитель равен $(x - 3\sqrt{y})^2$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(x - 3\sqrt{y})^2}{3\sqrt{y} - x}$

Заметим, что выражение в знаменателе $3\sqrt{y} - x$ является противоположным выражению в скобках числителя: $3\sqrt{y} - x = -(x - 3\sqrt{y})$.

Перепишем дробь, вынеся минус в знаменателе за скобки:

$\frac{(x - 3\sqrt{y})^2}{-(x - 3\sqrt{y})}$

Сократим дробь на $(x - 3\sqrt{y})$:

$-(x - 3\sqrt{y}) = 3\sqrt{y} - x$.

Ответ: $3\sqrt{y} - x$.

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{r - 2\sqrt{rs} + s}$.

Знаменатель $r - 2\sqrt{rs} + s$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{r}$ и $b = \sqrt{s}$. Тогда $a^2 = r$, $b^2 = s$ и $2ab = 2\sqrt{rs}$.

Таким образом, знаменатель равен $(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2}$

Так как $(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2 = (-( \sqrt{s} - \sqrt{r}))^2 = (\sqrt{s} - \sqrt{r})^2$, мы можем переписать знаменатель, чтобы он содержал такое же выражение, как и в числителе.

$\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{(\sqrt{s} - \sqrt{r})^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{s} - \sqrt{r})$:

$\frac{1}{\sqrt{s} - \sqrt{r}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{s} - \sqrt{r}}$.

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{3a + 5b + \sqrt{60ab}}$.

Для начала преобразуем корень в знаменателе: $\sqrt{60ab} = \sqrt{4 \cdot 15ab} = \sqrt{4}\sqrt{15ab} = 2\sqrt{15ab}$.

Теперь знаменатель имеет вид $3a + 5b + 2\sqrt{15ab}$.

Это выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Пусть $x = \sqrt{3a}$ и $y = \sqrt{5b}$. Тогда $x^2 = (\sqrt{3a})^2 = 3a$, $y^2 = (\sqrt{5b})^2 = 5b$, а $2xy = 2\sqrt{3a}\sqrt{5b} = 2\sqrt{15ab}$.

Следовательно, знаменатель равен $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$:

$\frac{1}{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}$.