Номер 16.59, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.59, страница 86.

Условие.

Сократите дробь:

16.59 а) $ \frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}} $;

б) $ \frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2} $;

в) $ \frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}} $;

г) $ \frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}}$, представим числитель в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Число 7 можно представить как квадратный корень из 7 в квадрате, то есть $7 = (\sqrt{7})^2$. Тогда числитель $a^2 - 7$ можно разложить на множители:

$a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}} = \frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a - \sqrt{7}}$

Сокращаем общий множитель $(a - \sqrt{7})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a - \sqrt{7} \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a - \sqrt{7})}(a + \sqrt{7})}{\cancel{a - \sqrt{7}}} = a + \sqrt{7}$

Ответ: $a + \sqrt{7}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2}$, представим знаменатель в виде разности квадратов.

Число 3 можно представить как $(\sqrt{3})^2$. Тогда знаменатель $3 - b^2$ раскладывается на множители по формуле разности квадратов:

$3 - b^2 = (\sqrt{3})^2 - b^2 = (\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2} = \frac{b + \sqrt{3}}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)}$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $b + \sqrt{3} = \sqrt{3} + b$. Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $b + \sqrt{3} \neq 0$):

$\frac{\cancel{b + \sqrt{3}}}{(\sqrt{3} - b)(\cancel{\sqrt{3} + b})} = \frac{1}{\sqrt{3} - b}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3} - b}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}}$, воспользуемся формулой разности квадратов для числителя, как и в пункте а).

Представим число 11 как $(\sqrt{11})^2$. Тогда числитель $c^2 - 11$ можно разложить на множители:

$c^2 - 11 = c^2 - (\sqrt{11})^2 = (c - \sqrt{11})(c + \sqrt{11})$

Подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}} = \frac{(c - \sqrt{11})(c + \sqrt{11})}{c - \sqrt{11}}$

Сокращаем общий множитель $(c - \sqrt{11})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c - \sqrt{11} \neq 0$):

$\frac{\cancel{(c - \sqrt{11})}(c + \sqrt{11})}{\cancel{c - \sqrt{11}}} = c + \sqrt{11}$

Ответ: $c + \sqrt{11}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2}$, разложим на множители знаменатель, используя формулу разности квадратов, как в пункте б).

Представим число 21 как $(\sqrt{21})^2$. Тогда знаменатель $21 - b^2$ раскладывается следующим образом:

$21 - b^2 = (\sqrt{21})^2 - b^2 = (\sqrt{21} - b)(\sqrt{21} + b)$

Подставим полученное разложение в дробь:

$\frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2} = \frac{b + \sqrt{21}}{(\sqrt{21} - b)(\sqrt{21} + b)}$

Выражение в числителе $b + \sqrt{21}$ равно множителю $\sqrt{21} + b$ в знаменателе. Сократим дробь на этот общий множитель (при условии, что $b + \sqrt{21} \neq 0$):

$\frac{\cancel{b + \sqrt{21}}}{(\sqrt{21} - b)(\cancel{\sqrt{21} + b})} = \frac{1}{\sqrt{21} - b}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{21} - b}$