Номер 16.57, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.57, страница 86.

Условие.

16.57 а) $49a - 14\sqrt{ab} + b;$

б) $3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25;$

в) $9m - 6\sqrt{mn} + n;$

г) $2a + 2b\sqrt{2a} + b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для того чтобы разложить выражение $49a - 14\sqrt{ab} + b$ на множители, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Представим первый член $49a$ как квадрат выражения $7\sqrt{a}$, то есть $x = 7\sqrt{a}$, так как $(7\sqrt{a})^2 = 49a$.

Представим третий член $b$ как квадрат выражения $\sqrt{b}$, то есть $y = \sqrt{b}$, так как $(\sqrt{b})^2 = b$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-14\sqrt{ab}$ удвоенному произведению $-2xy$: $ -2 \cdot (7\sqrt{a}) \cdot (\sqrt{b}) = -14\sqrt{ab}$.

Поскольку все члены соответствуют формуле, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$49a - 14\sqrt{ab} + b = (7\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (7\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.

Ответ: $(7\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.

б)

Для разложения выражения $3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25$ на множители применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Представим первый член $3c^2$ как квадрат выражения $c\sqrt{3}$, то есть $x = c\sqrt{3}$, так как $(c\sqrt{3})^2 = 3c^2$.

Представим третий член $25$ как квадрат числа $5$, то есть $y = 5$, так как $5^2 = 25$.

Проверим средний член $10c\sqrt{3}$, сравнив его с удвоенным произведением $2xy$: $2 \cdot (c\sqrt{3}) \cdot 5 = 10c\sqrt{3}$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому выражение является полным квадратом суммы:

$3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25 = (c\sqrt{3})^2 + 2 \cdot c\sqrt{3} \cdot 5 + 5^2 = (c\sqrt{3} + 5)^2$.

Ответ: $(c\sqrt{3} + 5)^2$.

в)

Для разложения выражения $9m - 6\sqrt{mn} + n$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Представим первый член $9m$ как квадрат выражения $3\sqrt{m}$, то есть $x = 3\sqrt{m}$, так как $(3\sqrt{m})^2 = 9m$.

Представим третий член $n$ как квадрат выражения $\sqrt{n}$, то есть $y = \sqrt{n}$, так как $(\sqrt{n})^2 = n$.

Проверим средний член $-6\sqrt{mn}$, сравнив его с $-2xy$: $-2 \cdot (3\sqrt{m}) \cdot (\sqrt{n}) = -6\sqrt{mn}$.

Поскольку все члены соответствуют формуле, сворачиваем выражение в полный квадрат:

$9m - 6\sqrt{mn} + n = (3\sqrt{m})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (3\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$.

Ответ: $(3\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$.

г)

Для разложения выражения $2a + 2b\sqrt{2a} + b^2$ на множители применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Представим первый член $2a$ как квадрат выражения $\sqrt{2a}$, то есть $x = \sqrt{2a}$, так как $(\sqrt{2a})^2 = 2a$.

Представим третий член $b^2$ как квадрат выражения $b$, то есть $y = b$.

Проверим средний член $2b\sqrt{2a}$, сравнив его с удвоенным произведением $2xy$: $2 \cdot (\sqrt{2a}) \cdot b = 2b\sqrt{2a}$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому выражение является полным квадратом суммы:

$2a + 2b\sqrt{2a} + b^2 = (\sqrt{2a})^2 + 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot b + b^2 = (\sqrt{2a} + b)^2$.

Ответ: $(\sqrt{2a} + b)^2$.