Номер 16.61, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.61, страница 86.

Условие.

16.61 a) $\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{9x - 16y}$;

б) $\frac{121a^2 - 144b}{12\sqrt{b} - 11a}$;

в) $\frac{25a - 49b}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$;

г) $\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{16c - 81ab}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{9x - 16y}$, представим знаменатель $9x - 16y$ в виде разности квадратов. Так как $9x = (3\sqrt{x})^2$ и $16y = (4\sqrt{y})^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
$9x - 16y = (3\sqrt{x})^2 - (4\sqrt{y})^2 = (3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$.
Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{(3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})}$.
Сократим общий множитель $(3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})$ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $\frac{1}{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{121a^2 - 144b}{12\sqrt{b} - 11a}$. Числитель $121a^2 - 144b$ является разностью квадратов, поскольку $121a^2 = (11a)^2$ и $144b = (12\sqrt{b})^2$. Разложим числитель на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$121a^2 - 144b = (11a)^2 - (12\sqrt{b})^2 = (11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})}{12\sqrt{b} - 11a}$.
Заметим, что знаменатель $12\sqrt{b} - 11a$ и множитель в числителе $11a - 12\sqrt{b}$ отличаются только знаком: $12\sqrt{b} - 11a = -(11a - 12\sqrt{b})$. Перепишем дробь:
$\frac{(11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})}{-(11a - 12\sqrt{b})}$.
После сокращения общего множителя $(11a - 12\sqrt{b})$ получаем:
$-(11a + 12\sqrt{b}) = -11a - 12\sqrt{b}$.
Ответ: $-11a - 12\sqrt{b}$.

в) Упростим дробь $\frac{25a - 49b}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$. Числитель $25a - 49b$ можно разложить на множители как разность квадратов. Представим $25a = (5\sqrt{a})^2$ и $49b = (7\sqrt{b})^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, получаем:
$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.
Сократим общий множитель $(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}$.
Ответ: $5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{16c - 81ab}$. Знаменатель $16c - 81ab$ является разностью квадратов, так как $16c = (4\sqrt{c})^2$ и $81ab = (9\sqrt{ab})^2$. Разложим знаменатель на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$16c - 81ab = (4\sqrt{c})^2 - (9\sqrt{ab})^2 = (4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})}$.
Вынесем знак минус из числителя: $9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c} = -(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})$. Дробь примет вид:
$\frac{-(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})}{(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})}$.
Сократим общий множитель $(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})$:
$\frac{-1}{4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab}}$.
Ответ: $-\frac{1}{9\sqrt{ab} + 4\sqrt{c}}$.