Номер 16.60, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.60, страница 86.

Условие.

16.60 а) $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}$;

б) $\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$;

в) $\frac{9-\sqrt{t}}{t-81}$;

г) $\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{r-s}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить числитель на множители. Мы можем представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $9$ как $3^2$. Таким образом, числитель $x-9$ является разностью квадратов.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = \sqrt{x}-3$

Ответ: $\sqrt{x}-3$

б) $\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$

Для сокращения этой дроби, так же, как и в предыдущем примере, разложим числитель $m-n$ на множители, используя формулу разности квадратов. Представим $m$ как $(\sqrt{m})^2$ и $n$ как $(\sqrt{n})^2$.

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним сокращение на общий множитель $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \sqrt{m}+\sqrt{n}$

Ответ: $\sqrt{m}+\sqrt{n}$

в) $\frac{9-\sqrt{t}}{t-81}$

В этом случае разложим на множители знаменатель дроби. Представим знаменатель $t-81$ как разность квадратов, где $t = (\sqrt{t})^2$ и $81 = 9^2$.

$t - 81 = (\sqrt{t})^2 - 9^2 = (\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{9-\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)}$

Обратим внимание, что выражение в числителе $9-\sqrt{t}$ и множитель в знаменателе $\sqrt{t}-9$ являются противоположными выражениями. То есть, $9-\sqrt{t} = -(\sqrt{t}-9)$. Вынесем $-1$ в числителе за скобки.

$\frac{-(\sqrt{t}-9)}{(\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(\sqrt{t}-9)$:

$-\frac{1}{\sqrt{t}+9}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{t}+9}$

г) $\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{r-s}$

Для решения этой задачи мы разложим на множители знаменатель $r-s$ по формуле разности квадратов. Представим $r$ как $(\sqrt{r})^2$ и $s$ как $(\sqrt{s})^2$.

$r-s = (\sqrt{r})^2 - (\sqrt{s})^2 = (\sqrt{r}-\sqrt{s})(\sqrt{r}+\sqrt{s})$

Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{(\sqrt{r}-\sqrt{s})(\sqrt{r}+\sqrt{s})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{r}+\sqrt{s})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{r}-\sqrt{s}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{r}-\sqrt{s}}$