Номер 16.67, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.67, страница 87.

Условие.

16.67 a) $\frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$;

б) $\frac{x\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2}$;

в) $\frac{\sqrt{c^3} - \sqrt{d^3}}{c + \sqrt{cd} + d}$;

г) $\frac{27 + a\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $, представим числитель в виде суммы кубов.

Заметим, что $ \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $. Аналогично, $ \sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3 $. Таким образом, выражение можно переписать как:

$ \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $. В нашем случае $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{b} $.

Применяем формулу к числителю:

$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b $

Ответ: $ a - \sqrt{ab} + b $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{x\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2} $. Здесь мы можем применить формулу разности кубов.

Представим числитель в виде разности кубов. Заметим, что $ x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 $ и $ 8 = 2^3 $. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{(\sqrt{x})^3 - 2^3}{\sqrt{x} - 2} $

Воспользуемся формулой разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $. В нашем случае $ a = \sqrt{x} $ и $ b = 2 $.

Применяем формулу к числителю:

$ (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4) $

Подставим это в исходную дробь и сократим:

$ \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x} - 2} = x + 2\sqrt{x} + 4 $

Ответ: $ x + 2\sqrt{x} + 4 $

в)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{c^3} - \sqrt{d^3}}{c + \sqrt{cd} + d} $.

Как и в предыдущих примерах, преобразуем числитель, используя тот факт, что $ \sqrt{c^3} = (\sqrt{c})^3 $ и $ \sqrt{d^3} = (\sqrt{d})^3 $.

Числитель представляет собой разность кубов:

$ (\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 $

Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $, где $ a = \sqrt{c} $ и $ b = \sqrt{d} $.

$ (\sqrt{c} - \sqrt{d})((\sqrt{c})^2 + \sqrt{c}\sqrt{d} + (\sqrt{d})^2) = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d) $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}{c + \sqrt{cd} + d} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (c + \sqrt{cd} + d) $.

$ \sqrt{c} - \sqrt{d} $

Ответ: $ \sqrt{c} - \sqrt{d} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{27 + a\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}} $.

Представим числитель в виде суммы кубов. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $ и $ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $. Таким образом, получаем:

$ \frac{3^3 + (\sqrt{a})^3}{3 + \sqrt{a}} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $, где $ x=3 $ и $ y=\sqrt{a} $.

Преобразуем числитель:

$ 3^3 + (\sqrt{a})^3 = (3 + \sqrt{a})(3^2 - 3\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (3 + \sqrt{a})(9 - 3\sqrt{a} + a) $

Подставим это в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{(3 + \sqrt{a})(9 - 3\sqrt{a} + a)}{3 + \sqrt{a}} = 9 - 3\sqrt{a} + a $

Ответ: $ 9 - 3\sqrt{a} + a $