Номер 16.62, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.62, страница 86.

Условие.

16.62 a) $\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$;

б) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$;

в) $\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$;

г) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы упростить выражение $\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$, преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$.
$\sqrt{3} - \sqrt{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} = \sqrt{3}(1 - \sqrt{2})$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}(1 - \sqrt{2})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sqrt{2})$:
$\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$, преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$.
$\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3})$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sqrt{3})$:
$\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$, преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$.
$\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sqrt{3})$:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1}$, преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$.
$\sqrt{6} + \sqrt{3} = \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{2} + 1)$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.