Номер 16.66, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.66, страница 86.

Условие.

16.66 a) $\frac{x + 4\sqrt{xy} + 4y}{x - 4y}$;

б) $\frac{2a + 6\sqrt{2ab} + 9b}{6a - 27b}$;

в) $\frac{x^2 - 25y}{x^2 + 5y - x\sqrt{20y}}$;

г) $\frac{6x^2y - 2xy^2}{3x + y - \sqrt{12xy}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения дроби $\frac{x + 4\sqrt{xy} + 4y}{x - 4y}$ разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $x + 4\sqrt{xy} + 4y$ можно представить как полный квадрат суммы. Заметив, что $x = (\sqrt{x})^2$, $4y = (2\sqrt{y})^2$ и $4\sqrt{xy} = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{y}$, получаем $(\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})(2\sqrt{y}) + (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})^2$. Знаменатель $x - 4y$ является разностью квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}$. После сокращения на общий множитель $(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$ получаем итоговый результат.

Ответ: $\frac{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}$

б)

Для упрощения дроби $\frac{2a + 6\sqrt{2ab} + 9b}{6a - 27b}$ разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $2a + 6\sqrt{2ab} + 9b$ является полным квадратом суммы, так как $2a = (\sqrt{2a})^2$, $9b = (3\sqrt{b})^2$ и $6\sqrt{2ab} = 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot 3\sqrt{b}$. Таким образом, числитель равен $(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})^2$. В знаменателе $6a - 27b$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(2a - 9b)$. Выражение в скобках $2a - 9b$ является разностью квадратов: $(\sqrt{2a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})$. Дробь принимает вид $\frac{(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})^2}{3(\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})}$. Сократив на $(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})$, получаем результат.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a} + 3\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 25y}{x^2 + 5y - x\sqrt{20y}}$. Упростим знаменатель: $x^2 + 5y - x\sqrt{20y} = x^2 + 5y - x\sqrt{4 \cdot 5y} = x^2 - 2x\sqrt{5y} + 5y$. Это выражение является полным квадратом разности: $(x - \sqrt{5y})^2$. Числитель $x^2 - 25y$ можно разложить как разность квадратов $(x - 5\sqrt{y})(x + 5\sqrt{y})$. В таком виде дробь $\frac{(x - 5\sqrt{y})(x + 5\sqrt{y})}{(x - \sqrt{5y})^2}$ не сокращается. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в числителе, где вместо $x^2 - 25y$ должно быть $x^2 - 5y$. Если принять это исправление, то решение будет следующим: числитель $x^2 - 5y = (x - \sqrt{5y})(x + \sqrt{5y})$. Тогда дробь принимает вид $\frac{(x - \sqrt{5y})(x + \sqrt{5y})}{(x - \sqrt{5y})^2}$. После сокращения на $(x - \sqrt{5y})$ получаем ответ.

Ответ: (при условии, что в числителе $x^2 - 5y$) $\frac{x + \sqrt{5y}}{x - \sqrt{5y}}$

г)

Для упрощения дроби $\frac{6x^2y - 2xy^2}{3x + y - \sqrt{12xy}}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $6x^2y - 2xy^2$ вынесем общий множитель $2xy$: $2xy(3x - y)$. Выражение в скобках $3x - y$ разложим как разность квадратов: $(\sqrt{3x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})$. Таким образом, числитель равен $2xy(\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})$. В знаменателе $3x + y - \sqrt{12xy}$ упростим корень: $\sqrt{12xy} = 2\sqrt{3xy}$. Знаменатель примет вид $3x - 2\sqrt{3xy} + y$, что является полным квадратом разности $(\sqrt{3x} - \sqrt{y})^2$. Дробь имеет вид $\frac{2xy(\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{3x} - \sqrt{y})^2}$. Сократив на общий множитель $(\sqrt{3x} - \sqrt{y})$, получим окончательный ответ.

Ответ: $\frac{2xy(\sqrt{3x} + \sqrt{y})}{\sqrt{3x} - \sqrt{y}}$