Номер 16.69, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.69, страница 87.

Условие.

16.69 a) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} + \frac{3}{\sqrt{a}+3}$;

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-13} + \frac{13}{13-\sqrt{n}};

в) $\frac{4}{\sqrt{q}-4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q}-4}$;

г) $\frac{\sqrt{t}}{3-\sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t}-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{3}{\sqrt{a} + 3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы ($\sqrt{a} + 3$), мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{3}{\sqrt{a} + 3} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} + 3}$

Выражение в числителе и знаменателе одинаковое. При условии, что знаменатель не равен нулю (а $\sqrt{a} + 3 > 0$ при $a \ge 0$), дробь равна 1.

$\frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} + 3} = 1$

Ответ: $1$

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 13} + \frac{13}{13 - \sqrt{n}}$

Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $13 - \sqrt{n} = -(\sqrt{n} - 13)$. Приведем вторую дробь к знаменателю первой дроби, вынеся знак минус из знаменателя и поставив его перед дробью:

$\frac{13}{13 - \sqrt{n}} = \frac{13}{-(\sqrt{n} - 13)} = -\frac{13}{\sqrt{n} - 13}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 13} - \frac{13}{\sqrt{n} - 13}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{\sqrt{n} - 13}{\sqrt{n} - 13} = 1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $n$, то есть когда $n \ge 0$ и $\sqrt{n} - 13 \neq 0$ (т.е. $n \neq 169$).

Ответ: $1$

в) $\frac{4}{\sqrt{q} - 4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{4}{\sqrt{q} - 4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4} = \frac{4 - \sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4}$

Заметим, что числитель является противоположным выражением знаменателю: $4 - \sqrt{q} = -(\sqrt{q} - 4)$. Подставим это в дробь:

$\frac{-(\sqrt{q} - 4)}{\sqrt{q} - 4} = -1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $q$, то есть когда $q \ge 0$ и $\sqrt{q} - 4 \neq 0$ (т.е. $q \neq 16$).

Ответ: $-1$

г) $\frac{\sqrt{t}}{3 - \sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t} - 3}$

Знаменатели дробей $3 - \sqrt{t}$ и $\sqrt{t} - 3$ являются противоположными выражениями, так как $3 - \sqrt{t} = -(\sqrt{t} - 3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{t} - 3$. Для этого изменим знак перед первой дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{\sqrt{t}}{3 - \sqrt{t}} = \frac{\sqrt{t}}{-(\sqrt{t} - 3)} = -\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3}$

Теперь исходное выражение примет вид:

$-\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3} + \frac{3}{\sqrt{t} - 3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-\sqrt{t} + 3}{\sqrt{t} - 3} = \frac{3 - \sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3}$

Числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Сократим дробь:

$\frac{-(\sqrt{t} - 3)}{\sqrt{t} - 3} = -1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $t$, то есть когда $t \ge 0$ и $\sqrt{t} - 3 \neq 0$ (т.е. $t \neq 9$).

Ответ: $-1$