Номер 16.74, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.74, страница 88.

Условие.

16.74 Проверьте равенство:

a) $\frac{2}{5+2\sqrt{6}} + \frac{2}{5-2\sqrt{6}} = 20;$

б) $\frac{6}{7-4\sqrt{3}} - \frac{6}{7+4\sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}},$

в) $\frac{3}{5\sqrt{2}-7} + \frac{3}{5\sqrt{2}+7} = 30\sqrt{2};$

г) $\frac{1}{9+4\sqrt{5}} - \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = -2\sqrt{80}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы проверить равенство $\frac{2}{5+2\sqrt{6}} + \frac{2}{5-2\sqrt{6}} = 20$, преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} + \frac{2(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{2(5-2\sqrt{6}) + 2(5+2\sqrt{6})}{1} = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$.

Получили, что левая часть равна $20$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: Равенство верно.

б) Проверим равенство $\frac{6}{7-4\sqrt{3}} - \frac{6}{7+4\sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}}$. Сначала преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

$\frac{6(7+4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} - \frac{6(7-4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{6(7+4\sqrt{3}) - 6(7-4\sqrt{3})}{1} = (42 + 24\sqrt{3}) - (42 - 24\sqrt{3}) = 42 + 24\sqrt{3} - 42 + 24\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{144}{\sqrt{3}} = \frac{144 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{144\sqrt{3}}{3} = 48\sqrt{3}$.

Левая и правая части равны $48\sqrt{3}$.
Ответ: Равенство верно.

в) Проверим равенство $\frac{3}{5\sqrt{2}-7} + \frac{3}{5\sqrt{2}+7} = 30\sqrt{2}$. Преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$.

$\frac{3(5\sqrt{2}+7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)} + \frac{3(5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} = \frac{3(5\sqrt{2}+7) + 3(5\sqrt{2}-7)}{1} = (15\sqrt{2} + 21) + (15\sqrt{2} - 21) = 15\sqrt{2} + 21 + 15\sqrt{2} - 21 = 30\sqrt{2}$.

Левая часть равна $30\sqrt{2}$, что совпадает с правой частью.
Ответ: Равенство верно.

г) Проверим равенство $\frac{1}{9+4\sqrt{5}} - \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = -2\sqrt{80}$. Преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

$\frac{1(9-4\sqrt{5})}{(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})} - \frac{1(9+4\sqrt{5})}{(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})} = \frac{(9-4\sqrt{5}) - (9+4\sqrt{5})}{1} = 9 - 4\sqrt{5} - 9 - 4\sqrt{5} = -8\sqrt{5}$.

Теперь упростим правую часть равенства:

$-2\sqrt{80} = -2\sqrt{16 \cdot 5} = -2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = -2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = -8\sqrt{5}$.

Левая и правая части равны $-8\sqrt{5}$.
Ответ: Равенство верно.