Номер 16.81, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.81, страница 89.

Условие.

Упростите выражение:

16.81 а) $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{120};$

б) $\sqrt{60} + (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2;$

в) $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30;$

г) $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{120}$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{30} + 5 = 11 + 2\sqrt{30}$.
Теперь упростим корень $\sqrt{120}$, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{30} = 2\sqrt{30}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(11 + 2\sqrt{30}) - 2\sqrt{30} = 11 + 2\sqrt{30} - 2\sqrt{30} = 11$.
Ответ: 11.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{60} + (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5 = 8 - 2\sqrt{15}$.
Теперь упростим корень $\sqrt{60}$:
$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$2\sqrt{15} + (8 - 2\sqrt{15}) = 2\sqrt{15} + 8 - 2\sqrt{15} = 8$.
Ответ: 8.

в) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$, сначала упростим выражение в скобках.
Упростим корень $\sqrt{18}$:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Теперь сложим корни в скобках:
$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(4\sqrt{2})^2 - 30$.
Возведем в квадрат:
$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Выполним вычитание:
$32 - 30 = 2$.
Ответ: 2.

г) Чтобы упростить выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
Теперь упростим второе слагаемое $3\sqrt{32}$:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$3\sqrt{32} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: 38.