Номер 16.77, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.77, страница 88.

Условие.

16.77 а) $ \frac{x - 16}{8x} : \frac{\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} $

б) $ \frac{z - 25}{z - 3\sqrt{z}} : \frac{\sqrt{z} + 5}{9 - z} $

в) $ \frac{5 - \sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{y - 25} $

г) $ \frac{3c - 3d}{c + \sqrt{cp}} \cdot \frac{\sqrt{c} + \sqrt{p}}{6\sqrt{d} - 6\sqrt{c}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{x-16}{8x} : \frac{\sqrt{x}+4}{4\sqrt{x}} = \frac{x-16}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}$. Разложим числитель первой дроби $x-16$ по формуле разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $16$ как $4^2$: $x - 16 = (\sqrt{x})^2 - 4^2 = (\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)$. Подставим разложенный числитель обратно в выражение: $\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}$. Теперь можно сократить одинаковые множители $(\sqrt{x}+4)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\sqrt{x}-4}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{1}$. Сократим числовые коэффициенты $4$ и $8$ (останется $2$ в знаменателе). Также сократим $x$ и $\sqrt{x}$, учитывая, что $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, в знаменателе останется $2\sqrt{x}$: $\frac{\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}}$

б) Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{z-25}{z-3\sqrt{z}} : \frac{\sqrt{z}+5}{9-z} = \frac{z-25}{z-3\sqrt{z}} \cdot \frac{9-z}{\sqrt{z}+5}$. Разложим на множители числители и знаменатели дробей: $z-25 = (\sqrt{z})^2 - 5^2 = (\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)$. $z-3\sqrt{z} = \sqrt{z}(\sqrt{z}-3)$. $9-z = 3^2 - (\sqrt{z})^2 = (3-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})$. Заметим, что $(3-\sqrt{z}) = -(\sqrt{z}-3)$. Подставим полученные выражения: $\frac{(\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)}{\sqrt{z}(\sqrt{z}-3)} \cdot \frac{(3-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}+5} = \frac{(\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)}{\sqrt{z}(\sqrt{z}-3)} \cdot \frac{-(\sqrt{z}-3)(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}+5}$. Сократим общие множители $(\sqrt{z}+5)$ и $(\sqrt{z}-3)$: $\frac{\sqrt{z}-5}{\sqrt{z}} \cdot \frac{-(3+\sqrt{z})}{1} = -\frac{(\sqrt{z}-5)(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}} = \frac{(5-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}}$.
Ответ: $\frac{(5-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}}$

в) Дано произведение дробей: $\frac{5-\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{y-25}$. Разложим знаменатель второй дроби $y-25$ по формуле разности квадратов: $y-25 = (\sqrt{y})^2 - 5^2 = (\sqrt{y}-5)(\sqrt{y}+5)$. В числителе первой дроби вынесем знак минус за скобки: $5-\sqrt{y} = -(\sqrt{y}-5)$. Подставим разложенные выражения в исходное: $\frac{-(\sqrt{y}-5)}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{(\sqrt{y}-5)(\sqrt{y}+5)}$. Сократим общий множитель $(\sqrt{y}-5)$: $\frac{-1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{\sqrt{y}+5}$. Представим $y$ как $(\sqrt{y})^2$ и сократим $\sqrt{y}$: $\frac{-1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7(\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}+5} = \frac{-1}{1} \cdot \frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5} = -\frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5}$.
Ответ: $-\frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5}$

г) Дано произведение дробей: $\frac{3c-3d}{c+\sqrt{cp}} \cdot \frac{\sqrt{c}+\sqrt{p}}{6\sqrt{d}-6\sqrt{c}}$. Разложим на множители числители и знаменатели: $3c-3d = 3(c-d) = 3((\sqrt{c})^2 - (\sqrt{d})^2) = 3(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})$. $c+\sqrt{cp} = \sqrt{c}\sqrt{c} + \sqrt{c}\sqrt{p} = \sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{p})$. $6\sqrt{d}-6\sqrt{c} = 6(\sqrt{d}-\sqrt{c}) = -6(\sqrt{c}-\sqrt{d})$. Подставим разложения в исходное выражение: $\frac{3(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{p})} \cdot \frac{\sqrt{c}+\sqrt{p}}{-6(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$. Сократим общие множители $(\sqrt{c}-\sqrt{d})$ и $(\sqrt{c}+\sqrt{p})$: $\frac{3(\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{c}} \cdot \frac{1}{-6}$. Сократим числовые коэффициенты $3$ и $-6$: $\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}} \cdot \frac{1}{-2} = -\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2\sqrt{c}}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2\sqrt{c}}$