Номер 16.79, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.79, страница 89.

Условие.

16.79 a) $(2 + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1}) \cdot \frac{3t + 3\sqrt{t}}{12\sqrt{t} + 8}$

б) $(\frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

в) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1}) \cdot \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$

г) $\frac{\sqrt{cd} - d}{c + d} \cdot (\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{t} + 1$:

$2 + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{2(\sqrt{t} + 1)}{\sqrt{t} + 1} + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{2\sqrt{t} + 2 + \sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{3\sqrt{t} + 2}{\sqrt{t} + 1}$

Теперь упростим второй множитель. В числителе вынесем за скобки $3\sqrt{t}$, а в знаменателе вынесем $4$:

$\frac{3t + 3\sqrt{t}}{12\sqrt{t} + 8} = \frac{3\sqrt{t}(\sqrt{t} + 1)}{4(3\sqrt{t} + 2)}$

Перемножим полученные выражения и сократим общие множители $(3\sqrt{t} + 2)$ и $(\sqrt{t} + 1)$:

$\frac{3\sqrt{t} + 2}{\sqrt{t} + 1} \cdot \frac{3\sqrt{t}(\sqrt{t} + 1)}{4(3\sqrt{t} + 2)} = \frac{3\sqrt{t}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{t}}{4}$

б)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \cdot \frac{xy}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$:

$\frac{xy}{\sqrt{xy}}$

Упростим полученное выражение, зная, что $xy = \sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}$:

$\frac{\sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}$

Ответ: $\sqrt{xy}$

в)

Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{a} + 1$:

$\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + \sqrt{a} - a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$

Разложим числитель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a-1 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$:

$\frac{a - 1}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}}$

Теперь перемножим полученные выражения и сократим общие множители $\sqrt{a}$ и $(\sqrt{a}+1)$:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - 1$

Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г)

Сначала упростим выражение в больших скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{c} + \sqrt{d})(\sqrt{c} - \sqrt{d}) = c - d$:

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d}) + \sqrt{d}(\sqrt{c} + \sqrt{d})}{(\sqrt{c} + \sqrt{d})(\sqrt{c} - \sqrt{d})} = \frac{c - \sqrt{cd} + \sqrt{cd} + d}{c - d} = \frac{c + d}{c - d}$

Теперь преобразуем первый множитель, вынеся $\sqrt{d}$ в числителе за скобки:

$\frac{\sqrt{cd} - d}{c + d} = \frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c + d}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c + d} \cdot \frac{c + d}{c - d}$

Сократим общий множитель $(c+d)$:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c - d}$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $c-d = (\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})$ и сократим дробь:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(\sqrt{c} + \sqrt{d})} = \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}}$